ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №11901D

Задача №522 из 1087
Условие задачи:

Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 16, а площадь равна 32√3.

Решение задачи:

Пусть а и b - катеты треугольника, с - гипотенуза.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S=ab/2=32√3
ab=64√3
a=64√3/b
По теореме Пифагора:
c²=a²+b²
16²=(64√3/b)²+b² |*b²
256b²=64²*3+b⁴
b⁴-256b²+12288=0
Обозначим b²=t
t²-256t+12288=0
Решим это квадратное уравнение: D=(-256)²-4*12288=65536-49152=16384
√D=√16384=√4*4096=√4*4*1024=√4*4*4*256=2*2*2*16=128
t₁=(-(-256)+128)/2=192
t₂=(-(-256)-128)/2=64
Рассмотрим оба случая: 1) t=192=b²
b=√192=8√3
По определению, cosα=b/c=8√3/16=√3/2
α=30° (по таблице)
По теореме о сумме углов треугольника, второй острый угол равен 180°-90°-30°=60°
2) t=64=b²
b=8
По определению, cosα=b/c=8/16=1/2
α=60° (по таблице)
По теореме о сумме углов треугольника, второй острый угол равен 180°-90°-60°=30°
Ответ: 30° и 60°

Вариант 2 (прислал пользователь Людмила)

Проведем из прямого угла медиану и высоту, обозначив их m и h соответственно.
Если описать окружность вокруг треугольника, то центр этой окружности будет лежать на середине гипотенузы (по теореме об описанной окружности). Следовательно:
m=c/2=16/2=8
S=(1/2)hc => h=2S/c=2*32√3/16=4√3
По определению синуса:
sinβ=h/m=4√3/8=√3/2
По таблице определяем, что β=60°
Угол γ является внешнем к β, следовательно γ=180°-β=180°-60°=120°
Треугольник, содержащий угол γ, равнобедренный, так как медиана m и половина гипотенузы равны (это мы выяснили ранее).
Следовательно, по свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны (обозначены α).
Тогда, по теореме о сумме углов треугольника:
180°=γ+α+α
180°=120°+2α
α=30° - это один из искомых углов.
Другой искомый угол найдем по той же теореме об углах треугольника: 180°-90°-30°=60°
ответ: 30° и 60°

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...