ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №19F9D1

Решение задачи:

Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD - равнобедренный.
BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=28/2=14.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). S_EDC=S_EDB=(BE*OD)/2=(28*14)/2=14*14=196
S_ABE=(BE*AO)/2=(28*14)/2=196
Т.е. S_ABE=S_EDC=S_EDB=196
Тогда, S_ABС=3*196=588
AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по второму свойству медианы).
S_ABD=(AD*BO)/2=S_ABC/2
(28*BO)/2=588/2
BO=588/28=21
Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора:
AB²=BO²+AO²
AB²=21²+14²
AB²=441+196=637
AB=√637= √13*49=7√13
BC=2AB=2*7√13=14√13
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=28-21=7
Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора:
AE²=AO²+OE²
AE²=14²+7²=196+49=245
AE=√245=√49*5=7√5
Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
14√13/7√13=CE/(7√5)
2=CE/(7√5)
CE=14√5
AC=AE+CE=7√5+14√5=21√5
Ответ: AB=7√13, BC=14√13, AC=21√5