В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ABC.
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE -
биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по
второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD -
равнобедренный.
BO -
биссектриса этого треугольника, следовательно и
медиана, и
высота (по третьему
свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=28/2=14.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED -
медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму
свойству медианы). SEDC=SEDB=(BE*OD)/2=(28*14)/2=14*14=196
SABE=(BE*AO)/2=(28*14)/2=196
Т.е.
SABE=SEDC=SEDB=196
Тогда, SABС=3*196=588
AD -
медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по
второму свойству медианы).
SABD=(AD*BO)/2=SABC/2
(28*BO)/2=588/2
BO=588/28=21
Рассмотрим треугольник ABO, он
прямоугольный, тогда применим
теорему Пифагора:
AB2=BO2+AO2
AB2=212+142
AB2=441+196=637
AB=√
BC=2AB=2*7√
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=28-21=7
Так как этот треугольник тоже
прямоугольный, то можно применить
теорему Пифагора:
AE2=AO2+OE2
AE2=142+72=196+49=245
AE=√
Так как BE -
биссектриса, то используя ее
первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
14√
2=CE/(7√
CE=14√
AC=AE+CE=7√
Ответ: AB=7√
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средняя линия равна 10.
Человек, рост которого равен 1,6 м, стоит на расстоянии 17 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 8 м. Определите высоту фонаря (в метрах).
Периметр треугольника равен 54, одна из сторон равна 15,
а радиус вписанной в него окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=44, BC=24, CF:DF=3:1.
Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Комментарии: