ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №1C7299

Задача №829 из 1087
Условие задачи:

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 33 и 11, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=20.

Решение задачи:

Продлим стороны AB и CD до пересечения друг с другом.
Рассмотрим треугольник AED.
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠EDA+∠DAE+∠AED
180°=90°+∠AED
∠AED=90°
Следовательно треугольник AED - прямоугольный.
Рассмотрим треугольники AED и BEC.
∠AED - общий
∠EBC=∠EAD (т.к. это соответственные углы)
Треугольники AED и BEC подобны (по первому признаку подобия треугольников).
Тогда по определению подобия:
AD/BC=AE/BE
AD/BC=(AB+BE)/BE
33/11=(20+BE)/BE
3=(20+BE)/BE
3BE=20+BE
2BE=20
BE=10
Точка F - точка касания прямой CD и окружности.
По теореме о касательной и секущей:
EF²=BE*AE=BE*(AB+BE)=10(20+10)=300
EF=√300
Рассмотрим треугольник EOK.
О - центр окружности
OB - радиус окружности
OK - серединный перпендикуляр к хорде AB ( третье свойство хорды)
OK=EF (т.к. KEFO - прямоугольник)
KB=AB/2 (т.к. OK - серединный перпендикуляр)
По теореме Пифагора:
OB²=OK²+KB²
OB²=(√300 )²+(20/2)²
OB²=300+100=400
OB=20=R
Ответ: 20