Юмор

Автор: Катя
- Вовочка, у тебя в кармане сто рублей, ты попросил у отца еще сто, сколько у тебя будет д...читать далее

ОГЭ, 9-й класс. Математика: Геометрия


Задача №697 из 939. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - F17BEE


Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 31 и 32, касаются сторон угла с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Решение задачи:

Проведем несколько отрезков:
EH - радиус малой окружности. Он перпендикулярен AB (по свойству касательной).
FG - радиус большой окружности. Он перпендикулярен AB (по свойству касательной).
HG - отрезок, соединяющий центры окружностей и равный R+r, так как он проходит через точку К.
Рассмотрим треугольники AFG и AEH:
∠EAH - общий;
углы AEH и AFG - прямые.
Следовательно эти треугольники подобны, тогда:
FG/EH=AG/AH
FG/EH=(AH+HG)/AH
32/31=(AH+R+r)/AH
32AH=31(AH+63)
32AH-31AH=1953
AH=1953
sin∠EAH=EH/AH=31/1953=1/63
AK=AH+r=1953+31=1984
AK перпендикулярен BC, т.к. это продолжение большого и малого радиусов, а AB - касательная ( свойство касательной). AK делит хорду AB пополам (по свойству хорды).
Треугольник ABC - равнобедренный, т.к. AK - и медиана и высота ( свойство равнобедренного треугольника).
Теперь уберем из рисунка все, что нас больше не интересует и резюмируем, что мы знаем:
AK=1984
sinα=1/63
Так как AK - биссектриса, то центр описанной окружности находится на AK.
Найдем AB.
По теореме Пифагора:
AB2=AK2+BK2
AB2=AK2+(AB*sinα)2
AB2-AB2*sin2α= 19842
AB2(1-1/632)=19842
AB2(632-1)=632*19842
AB2=632*19842/(632-1)
Рассмотрим треугольник AOB.
AO=OB, так как это радиусы окружности, следовательно данный треугольник равнобедренный.
Проведем высоту ON, в равнобедренном треугольнике она так же является и медианой (по свойству равнобедренного треугольника).
sinα=ON/AO => ON=AO/63
По теореме Пифагора:
AO2=ON2+AN2
AO2=AO2/632+(AB/2)2
AO2-AO2/632=AB2/4
AO2(1-1/632)=AB2/4
AO2((632-1)/632)=(632*19842/(632-1))/4
4AO2=632*19842/(632-1)/((632-1)/632)=632*19842*632/(632-1)2
2AO=632*1984/(632-1)
2AO=3969*1984/3968=3969/2=1984,5
AO=992,25
Ответ: 992,25

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Комментарии:


(2017-03-21 19:51:48) Администратор: Мария, конечно это опечатка, спасибо большое, что заметили. Исправлено.
(2017-03-19 18:42:33) Мария: АК не может быть перпендикулярен АВ!!! может быть ВС?

Хочу получать новые решения

email рассылки Ни какого спама

email рассылки
X

9-й класс, ОГЭ: Математика

11-й класс, ЕГЭ: Математика (базовый уровень)

X

Введите порядковый номер задачи для раздела 'ОГЭ, 9-й класс. Математика: Геометрия' (от 1 до 939)

X

Введите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X

Значение не введено

X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:

Рейтинг@Mail.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2018. Все права защищены. Яндекс.Метрика