Решение задачи:

Вариант №1
Сумма углов любого выпуклого n-угольника равна (n-2)180, тогда сумма углов четырехугольника (4-2)180=360.
Т.е. ∠A+∠B+∠C+∠D=360
∠A+92°+148°+∠D=360°
∠A+∠D=120°
Треугольники AEB, BEC и ECD - равнобедренные, т.к. стороны AE=EB=EC=ED.
Следовательно:
∠A=∠ABE
∠EBC=∠ECB
∠ECD=∠D
Использую сумму углов четырехугольника, запишем:
∠A+∠ABE+∠EBC+∠ECB+∠ECD+∠D=360°
Используя ранее полученные равенства, запишем:
∠A+∠A+2∠EBC+∠D+∠D=360°
2∠A+2∠EBC+2∠D=360°
∠A+∠EBC+∠D=180°
120°+∠EBC=180°
∠EBC=60°
Рассмотрим треугольник EBC.
По теореме о сумме углов треугольника ∠BEC тоже равен 60°.
Следовательно треугольник EBC - равносторонний (по свойству).
Значит BC=BE=EC=8 (по определению) и
8=BE=EC=AE (по условию задачи).
AD=AE+ED=8+8=16
Ответ: AD=16

---

Вариант №2 (Предложил пользователь Alissa)
Если внимательно посмотреть на рисунок, то можно увидеть, что точка Е - это центр описанной окружности, так как до любого угла четырехугольника одинаковое расстояние (по условию задачи).
Т.е. данный четырехугольник вписан в окружность.
Тогда, по свойству описанной окружности:
∠B+∠D=180°
∠D=180°-∠B
∠D=180°-92°=88°
Рассмотрим тругольник ECD.
EC=ED (по условию), следовательно, данный треугольник равнобедренный.
Тогда, по первому свойству, ∠D=∠ECD=88°
∠BCE=∠C-∠ECD=148°-88°=60°
Треугольник ECB тоже равнобедренный, следовательно, ∠BCE=∠CBE=60°
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠BCE+∠CBE+∠BEC
180°=60°+60°+∠BEC
∠BEC=60°
Т.е. в треугольнике ECB все углы равны, следовательно, это равносторонний треугольник (по первому свойству).
BC=EB=EC=AE=ED=8 (по определению).
AD=AE+ED=8+8=16
Ответ: 16