ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №0D90BE

Задача №448 из 1087
Условие задачи:

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 38°, 78° и 64°.

Решение задачи:

Пусть:
∠KMP=38°
∠MKP=78°
∠KPM=64°
Рассмотрим треугольник AMK.
AM=AK (по второму свойству касательной)
Следовательно треугольник AMK - равнобедренный, тогда, по свойству равнобедренного треугольника:
∠AMK=∠AKM
Заметим, что оба этих угла охватывают дугу MK, и следовательно равны половине ее градусной меры (по свойству углов на окружности).
∠MPK является вписанным в окружность углом и опирается на эту же дугу, следовательно и он равен половине градусной меры этой дуги.
Получается, что:
∠AMK=∠AKM=∠MPK=64°
Применив теорему о сумме углов треугольника:
180°=∠AMK+∠AKM+∠MAK
180°=64°+64°+∠MAK
∠MAK=52°
Аналогично, для двух других треугольников получим:
∠BKP=∠BPK=∠PMK=38°
∠KBP=180°-38°-38°=104°
И...
∠CPM=∠CMP=∠MKP=78°
∠PCM=180°-78°-78°=24°
Ответ: 52°, 104° и 24°

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Другие задачи из этого раздела

Задача №ED3166

В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 30°, BC=8√2. Найдите AC.

Задача №2E627A

В трапеции ABCD известно, что AD=4, BC=2, а её площадь равна 69. Найдите площадь треугольника ABC.

Задача №061DDF

На стороне BC остроугольного треугольника ABC (AB≠AC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=27, MD=18, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.