Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 36.
Для удобства введем обозначения:
a - сторона
ромба (они равны по
определению ромба)
d - диагональ AC
36d - диагональ BD (по условию)
AE - k
EB - t
Площадь
параллелограмма через диагонали равна BD*AC*sinα/2 = 36d*d*sinα/2 = 18d2*sinα, где α - угол между диагоналями (при чем не важно какой, так как синусы обоих углов будут равны друг другу).
Так как стороны
ромба параллельны диагоналям, образуется маленький
параллелограмм, а значит противоположные углы равны (по
свойству параллелограмма).
Рассмотрим треугольники ABC и EBF.
∠EBF - общий
∠BFE=∠BCA (это
соответственные углы для параллельных прямых EF и AC с секущей FC)
Следовательно, треугольники ABC и EBF
подобны (по
первому признаку подобия).
Тогда EF/AC=a/d=t/(t+k)
Аналогично,
подобны и треугольники ABD и AEH.
Для них справедливо: a/36d=k/(t+k)
Складываем эти два уравнения:
a/d+a/36d=t/(t+k)+k/(t+k)
36a/36d+a/36d=(t+k)/(t+k)
37a/36d=1
37a=36d
a=36d/37
Sромба=a2sinα
Sпараллелограмма=18d2*sinα (это мы выяснили ранее)
Sромба/Sпараллелограмма=(a2sinα)/(18d2*sinα)=a2/(18d2)=(36d/37)2/(18d2)=(362*d2)/(372*18*d2)=1296/(372*18)=72/372
Ответ: 72/372
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Точка H является основанием высоты BH, проведенной из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=16.
Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.
Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 6.
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 9 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.
2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 не существует.
3) Сумма квадратов диагоналей прямоугольника равна сумме квадратов всех его сторон.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2018-03-01 19:17:04) Александр : Спасибо
(2018-03-01 14:02:07) Администратор: Александр, для любого уравнения для левой и правой части, мы можем прибавить, вычесть, умножить и разделить на одно и то же число. Второе уравнение - это тоже некое (еще не найденное) число, и его правая и левая части, естественно, равны. Следовательно, прибавляя к первому (к левой части) уравнению второе (тоже левую часть), мы прибавляем и к правой части первого правую часть второго (как я уже сказал выше, левая и правая части, естественно, равны), мы как-будто к первому уравнению прибавили одинаковое число. Резюмирую, к любому уравнению всегда можно прибавить (отнять) любое другое уравнение. Для решения систем уравнений - это очень распространенный метод.
(2018-02-28 21:51:24) Александр : Почему мы можем сложить эти уравнения?
(2014-05-27 15:19:09) Администратор: Левую часть уравнения привели к общему знаменателю 36d. В правой части - знаменатель общий. По правилу сложения дробей складываем числители и записываем общий знаменатель.
(2014-05-27 09:28:14) Diamo_2014: Пожалуйста, можно объяснить принцип уравнения! a/d+a/36d=t/(t+k)+k/(t+k) 36a/36d+a/36d=(t+k)/(t+k) 37a/36d=1
(2014-05-27 09:17:18) Diamo_2014: Спасибо!
(2014-05-26 21:51:14) Администратор: Diamo_2014, пожалуйста.
(2014-05-26 16:02:45) Diamo_2014: Пожалуйста, пишите при каких прямых и секущей углы!
(2014-05-26 13:29:55) Администратор: Анна, мы доказывали, что противоположные углы раны для формулы площади ромба. В ней используется противоположный угол.
(2014-05-26 10:24:46) Анна : Зачем нам нужно было доказывать, что тот маленький четырехугольник-параллелограмм? ведь его свойство о противоположных углах дальше вообще не используется.
(2014-05-11 19:22:59) Администратор: Кристина, Виктория, у меня нет такой информации, но, судя по сложности, думаю из второй.
(2014-05-11 15:26:13) Виктория: надеюсь это из второй части
(2014-05-11 12:49:21) кристина : Это же из 2 части?