Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 36.
Для удобства введем обозначения:
a - сторона
ромба (они равны по
определению ромба)
d - диагональ AC
36d - диагональ BD (по условию)
AE - k
EB - t
Площадь
параллелограмма через диагонали равна BD*AC*sinα/2 = 36d*d*sinα/2 = 18d2*sinα, где α - угол между диагоналями (при чем не важно какой, так как синусы обоих углов будут равны друг другу).
Так как стороны
ромба параллельны диагоналям, образуется маленький
параллелограмм, а значит противоположные углы равны (по
свойству параллелограмма).
Рассмотрим треугольники ABC и EBF.
∠EBF - общий
∠BFE=∠BCA (это
соответственные углы для параллельных прямых EF и AC с секущей FC)
Следовательно, треугольники ABC и EBF
подобны (по
первому признаку подобия).
Тогда EF/AC=a/d=t/(t+k)
Аналогично,
подобны и треугольники ABD и AEH.
Для них справедливо: a/36d=k/(t+k)
Складываем эти два уравнения:
a/d+a/36d=t/(t+k)+k/(t+k)
36a/36d+a/36d=(t+k)/(t+k)
37a/36d=1
37a=36d
a=36d/37
Sромба=a2sinα
Sпараллелограмма=18d2*sinα (это мы выяснили ранее)
Sромба/Sпараллелограмма=(a2sinα)/(18d2*sinα)=a2/(18d2)=(36d/37)2/(18d2)=(362*d2)/(372*18*d2)=1296/(372*18)=72/372
Ответ: 72/372
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 36 и 39.
Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=21 и HD=54. Найдите площадь ромба.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=18, DK=9, BC=16. Найдите AD.
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 20. Найдите высоту этой трапеции.
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK:KA=2:3, KM=14.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2018-03-01 19:17:04) Александр : Спасибо
(2018-03-01 14:02:07) Администратор: Александр, для любого уравнения для левой и правой части, мы можем прибавить, вычесть, умножить и разделить на одно и то же число. Второе уравнение - это тоже некое (еще не найденное) число, и его правая и левая части, естественно, равны. Следовательно, прибавляя к первому (к левой части) уравнению второе (тоже левую часть), мы прибавляем и к правой части первого правую часть второго (как я уже сказал выше, левая и правая части, естественно, равны), мы как-будто к первому уравнению прибавили одинаковое число. Резюмирую, к любому уравнению всегда можно прибавить (отнять) любое другое уравнение. Для решения систем уравнений - это очень распространенный метод.
(2018-02-28 21:51:24) Александр : Почему мы можем сложить эти уравнения?
(2014-05-27 15:19:09) Администратор: Левую часть уравнения привели к общему знаменателю 36d. В правой части - знаменатель общий. По правилу сложения дробей складываем числители и записываем общий знаменатель.
(2014-05-27 09:28:14) Diamo_2014: Пожалуйста, можно объяснить принцип уравнения! a/d+a/36d=t/(t+k)+k/(t+k) 36a/36d+a/36d=(t+k)/(t+k) 37a/36d=1
(2014-05-27 09:17:18) Diamo_2014: Спасибо!
(2014-05-26 21:51:14) Администратор: Diamo_2014, пожалуйста.
(2014-05-26 16:02:45) Diamo_2014: Пожалуйста, пишите при каких прямых и секущей углы!
(2014-05-26 13:29:55) Администратор: Анна, мы доказывали, что противоположные углы раны для формулы площади ромба. В ней используется противоположный угол.
(2014-05-26 10:24:46) Анна : Зачем нам нужно было доказывать, что тот маленький четырехугольник-параллелограмм? ведь его свойство о противоположных углах дальше вообще не используется.
(2014-05-11 19:22:59) Администратор: Кристина, Виктория, у меня нет такой информации, но, судя по сложности, думаю из второй.
(2014-05-11 15:26:13) Виктория: надеюсь это из второй части
(2014-05-11 12:49:21) кристина : Это же из 2 части?