ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №0EE7ED

Задача №107 из 1084
Условие задачи:

Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2√5, √13 и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если /KAC>90°.

Решение задачи:

По условию задачи /KAC>90°, т.е. это наибольший угол в треугольнике AKC следовательно, сторона KC, противолежащая этому углу тоже наибольшая (по теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника). Сторона AC равная 2√5 - наибольшая сторона исходного треугольника ABC (т.к. 2√5>√13>1). Следовательно, угол ABC - наибольший угол треугольника ABC.
По условию задачи треугольник KAC подобен исходному треугольнику ABC. А значит углы этих треугольников соответственно равны (по определению подобных треугольников). Поэтому наибольшие углы двух рассматриваемых треугольников равны, т.е. /KAC=/ABC. /ACK не равен /ACB ( т.к. KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B), поэтому /ACK = /BAC. Следовательно, /AKC=/ACB => cos(/AKC)=cos(/ACB).
Применяя теорему косинусов мы можем записать AB²=AC²+BC²-2*AC*BC*cos(/ACB).
(√13)²=(2√5)²+1²-2*2√5*1*cos(/ACB);
13=4*5+1-4*√5*cos(/ACB);
13-21=-4*√5*cos(/ACB);
8=4*√5*cos(/ACB);
cos(/AKC)=cos(/ACB)=2/√5
Ответ: cos(/AKC)=2/√5