ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №345EF5
| Задача №658 из 1087 Условие задачи: | |
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=√11/6.
Решение задачи:
Вариант №1 (прислал Всеволод).
Проведем отрезок от точки касания стороны AB и окружности через центр окружности к стороне AC. Обозначим точки как показано на рисунке.
AD2=AM*AN (по
теореме о касательно и секущей для точки А).
AD2=9*11=99
AD=√99=√9*11=√9*√11=3√11
Рассмотрим треугольник ADE.
Данный треугольник
прямоугольный (по
свойству касательной).
cos∠BAC=AD/AE (по
определению).
AE=AD/cos∠BAC=3√11/(√11/6)=3√11*6/√11=3*6=18
!!!ВАЖНО!!! Если Вы решаете подобную задачу, но с другими числовыми значениями, проверьте, если полученное значение AE меньше значения AN, то данный метод решения не подходит,так как не соответствует рисунку. Переходите к варианту решения №2 (см. ниже)
По
теореме Пифагора:
AE
2=DE
2+AD
2
18
2=DE
2+(3
√11)
2
324=DE
2+9*11
DE
2=324-99=225
DE=15
EN*EM=EF*DE (по
теореме о двух секущих относительно точки E).
(AE-AN)*(AE-AM)=(DE-2R)*DE
(18-11)(18-9)=(15-2R)*15
7*9=(15-2R)*15 |:3
7*3=(15-2R)*5
21=75-10R
10R=75-21=54
R=5,4
Ответ: 5,4
Вариант №2.
![](images/345EF5-1.png)
Дополнительно обозначим ключевые точки и проведем отрезки, как показано на рисунке.
По
теореме о касательной и секущей найдем AD.
AD
2=AM*AN=9*11=99
AD=
√99
Рассмотрим треугольник ADM.
По
теореме косинусов найдем DM:
DM
2=AD
2+AM
2-2*AD*AM*cos∠BAC=(
√99)
2+9
2-2*
√99*9*
√11/6=99+81-18*3
√11*
√11/6=180-3*3*11=180-99=81
DM=9
Так как DM=AM=9, значит треугольник ADM -
равнобедренный.
Следовательно, по
свойству равнобедренного треугольника ∠BAM=∠ADM
![](images/345EF5-2.png)
По
четвертому свойству углов, связанных с окружностью ∠ADM равен половине градусной меры дуги DM.
∠DOM -
центральный угол, следовательно равен градусной мере дуги DM, т.е. вдвое больше, чем ∠ADM.
Рассмотрим треугольник DOM.
Так как OD=OM=R, то данный треугольник
равнобедренный.
Проведем
высоту OE, как показано на рисунке.
По
свойству равнобедренного треугольника:
высота OE является так же и
биссектрисой, и
медианой.
Следовательно, ∠DOE=∠DOM/2=∠ADM=∠BAC
Получаем, что cos∠DOE=cos∠BAC=
√11/6
sin∠DOE=
√1-cos2∠DOE=
√1-(√11/6)2=
√1-11/36=
√25/36=5/6 (
основная тригонометрическая формула)
DE=DM/2=9/2=4,5 (т.к. OE -
медиана).
sin∠DOE=DE/DO (по
определению).
5/6=4,5/DO
DO=4,5/(5/6)=4,5*6/5=5,4=R
Ответ: R=5,4
На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 5 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?
Комментарии:
(2017-05-03 21:11:28) Администратор: Василина, cos∠DOE=cos∠BAC, так как ∠DOE=∠BAC. В решении это показано.
(2017-05-02 22:31:56) Администратор: Анатолий, Мы не помогаем решить домашнее задание, цель сайта - подробно разобрать задачи, которые будут на экзаменах, чтобы учащиеся научились их решать самостоятельно. Если найдете похожую задачу на сайте fipi.ru, отправте заявку на добавление задачи, и мы ее обязательно добавим.
(2017-05-01 12:54:15) анатолий: в основании пирамиды лежит квадрат.одна из боковых граней перпендикулярна ее основанию а две соседние с ней грани образуют с основанием двугранные углы по 30.найти площадь поверхности пирамиды если ее высота равна h
(2017-04-18 14:36:53) Генрих: Пару дней назад все выслал)
(2017-04-13 12:28:20) Генрих: Все красиво перепишу и постараюсь сегодня выслать)
(2017-04-03 12:06:06) Администратор: Генрих, здравствуйте! Присылайте на admin@otvet-gotov.ru, будем очень благодарны!
(2017-04-03 12:04:55) Администратор: Генрих, здравствуйте! Присылайте на admin@otvet-gotov.ru, будем очень благодарны!
(2017-04-03 03:39:16) Генрих: Здравствуйте, хотел бы поделиться другим решением, куда его можно прислать, мне кажется, оно более универсально.
(2016-02-09 00:51:04) Администратор: Ксения, да, Вы правы, я подумаю, над этим вопросом...Спасибо за информацию.
(2016-02-09 00:41:58) Ксения: опечатка в моем комментарии: косинус=(корень из 15, деленный на 4(!)
(2016-02-09 00:37:24) Ксения: Решала аналогичную задачу с другими цифрами (расстояния 12 и 45 соответственно, косинус=(корень из 15, деленный на 2) первым способом. Получилось, что АЕ=24, что противоречит условию, т.к. АЕ должно быть больше, чем 45... Получается, что решение подходит не для всех задач..
(2015-05-26 17:22:14) Денис: моя задача на пробном ОГЭ (ГИА) в этом году.. аж до сих пор её помню)
(2015-05-05 09:53:28) Администратор: Галина, Вы меня запутали ))) Все нормально в этом варианте. Посмотрите свой же комментарий "АЕ=18, при этом по условию AM=9, AN=11, т.е. AN=20", у Вас AN то равняется 11, то 20...По условию AN=11, значит AE больше, чем AN...
(2015-05-05 09:49:56) Администратор: Галина, да, интересное замечание, я как-то даже не обратил внимания...Спасибо, я подумаю над этим вопросом...
(2015-05-05 09:11:30) Галина: Для варианта №1 АЕ=18, при этом по условию AM=9, AN=11, т.е. AN=20. Т.е. вторая часть решения EN*EM=EF*DE теряет смысл.