ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №EA6181

Решение задачи:

Пусть R - радиус окружности.
Рассмотрим треугольник BCA.
Этот треугольник вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
AB/sin(∠BCA)=2R
AB=2Rsin(∠BCA)
Рассмотрим треугольник BCD.
Этот треугольник тоже вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
CD/sin(∠CBD)=2R
CD=2Rsin(∠CBD)
Рассмотрим треугольник BCK.
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CBD+∠BCA+∠CKB=180°
∠AKB - является смежным по отношению к ∠CKB, следовательно ∠CKB=180°-∠AKB. Подставляем в уравнение выше:
∠CBD+∠BCA+(180°-∠AKB)=180°
∠CBD+∠BCA+(180°-60°)=180°
∠CBD+∠BCA=60°
Для простоты обозначим ∠CBD=а и ∠BCA=b, т.е. a+b=60°
a=60°-b
19=AB=2Rsin(a)
22=CD=2Rsin(60°-a)=2R(sin60°cos(a)-cos60°sin(a))=2R((√3/2)*cos(a)-(1/2)*sin(a))=R(√3cos(a)-sin(a)) (применена тригонометрическая формула)
Разделим второе уравнение на первое:
19/22=R(√3cos(a)-sin(a))/(2Rsin(a))
19/22=(√3cos(a)-sin(a))/(2sin(a))
19*2sin(a)=22*(√3cos(a)-sin(a))
38sin(a)=22√3cos(a)-22sin(a)
60sin(a)=22√3cos(a)
Возведем правую и левую части в квадрат:
3600sin²(a)=484*3cos²(a)
3600sin²(a)=1452(1-sin²(a)) (применена основная тригонометрическая формула)
3600sin²(a)=1452-1452sin²(a))
5052sin²(a)=1452
sin²(a)=1452/5052
sin²(a)=484/1684
sin²(a)=121/421
sin(a)=√121/421
sin(a)=11/√421
22=2R*11/(√421)
1=R/(√421)
R=√421
Ответ: R=√421