ОГЭ, Математика.
Алгебраические выражения: Задача №681B15

Решение задачи:

Можно попробовать раскрыть скобки, мы получим уравнение четверной степени, решение которого может быть довольно сложным. Поэтому предлагается два других варианта решения.
Вариант №1 (предложил пользователь Людмила)
Внимательно посмотрим на уравнение. Оно представляет из себя сумму квадратов равных нулю. Квадрат любого числа положителен. Следовательно, сумма квадратов равна нулю, когда каждый квадрат равен нулю. Получается система уравнений:

Так как квадрат равен нулю, то и число под квадратом равно нулю:

Осталось решить каждое уравнение по отдельности, и корень, который удовлетворяет обоим уравнениям, и будет решением системы.
1) x²-25=0
x²-5²=0
Воспользуемся формулой разность квадратов:
(x-5)(x+5)=0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, поэтому:
x₁=5
x₂=-5
Это корни первого уравнения.
2) x²+2x-15=0
Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:
D=2²-4*1*(-15)=4+60=64
x₁=(-2+8)/(2*1)=6/2=3
x₂=(-2-8)/(2*1)=-10/2=-5
Это корни второго уравнения.
Для обоих уравнений есть общий корень x=-5. Это и есть решение системы уравнений и решение первоначального уравнения.
Ответ: -5

---

Вариант №2
(x²-25)²+(x²+2x-15)²=0
В первом слагаемом воспользуемся формулой разность квадратов:
(x²-5²)²+(x²+2x-15)²=0
((x-5)(x+5))²+(x²+2x-15)²=0
По первому правилу работы со степенями:
(x-5)²(x+5)²+(x²+2x-15)²=0
Теперь попробуем второе слагаемое подвести к той же формуле (разность квадратов):
(x-5)²(x+5)²+(x²+2x+(1-16))²=0
(x-5)²(x+5)²+(x²+2x+1-16)²=0
Это сделано, чтобы получить внутри скобки выражение x²+2x+1, которое можно преобразовать по формуле квадрат суммы:
(x-5)²(x+5)²+((x+1)²-16)²=0
(x-5)²(x+5)²+((x+1)²-4²)²=0
Теперь видно, что можно опять воспользоваться формулой разность квадратов, где первый член (x+1), а второй 4:
(x-5)²(x+5)²+((x+1-4)(x+1+4))²=0
(x-5)²(x+5)²+((x-3)(x+5))²=0
Опять воспользуемся первым правилом работы со степенями:
(x-5)²(x+5)²+(x-3)²(x+5)²=0
Заметим, что и в первом и во втором слагаемом есть множитель (x+5)², вынесем его за общую скобку:
(x+5)²((x-5)²+(x-3)²)=0
Получили произведение двух множителей. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, поэтому рассмотрим два варианта. Приравняем каждый множитель нулю:
1) (x+5)²=0
x+5=0
x₁=-5
2) (x-5)²+(x-3)²=0
Раскроем обе скобки по формуле квадрат разности:
x²-2*x*5+5²+x²-2*x*3+3²=0
x²-10x+25+x²-6x+9=0
2x²-16x+34=0
Чтобы было легче считать, сократим уравнение на 2:
2x²-16x+34=0 |:2
x²-8x+17=0
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
D=(-8)²-4*1*17=64-68=-4
Дискриминант меньше нуля, следовательно данное квадратное уравнение не имеет корней. Т.е. остался только одно значение, которое мы нашли в п.1).
Ответ: -5