ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №1B7017

Решение задачи:

BM - медиана треугольника АВС, следовательно, она делит этот треугольник на два равных по площади треугольника ( свойство медианы).
S_ABM=S_CMB=S_ABC/2
Рассмотрим треугольник ABM.
S_ABK+S_AKM=S_ABM=S_ABC/2
AP - биссектриса, по теореме о биссектрисе можно записать AM/AB=KM/BK.
По условию задачи AC/AB=9/7, следовательно, 2AM/AB=9/7 => AM/AB=9/14 => KM/BK=9/14
Т.к. площадь треугольника вычисляется по формуле S=1/2*h*a, где а-основание и h-высота, то можем записать:
S_AKM=1/2*h*KM=1/2*h*((9/14)*BK)=9/14*(1/2*h*BK)=9/14*S_ABK (т.к. высота h для этих треугольников общая)
S_ABK+S_AKM=S_ABM=S_ABC/2
S_ABK+9/14*S_ABK=S_ABC/2
23/14*S_ABK=S_ABC/2
S_ABK=14S_ABC/46
По тому же свойству биссектрисы для треугольника ABC получаем, что AC/AB=CP/PB
AC/AB=9/7 (по условию задачи) => CP/PB=9/7 следовательно, CP=9*PB/7
S_APC=1/2*h*PC=1/2*h*(9*PB/7)=9/7*(1/2*h*PB)=9/7*S_ABP,
S_ABP+S_APC=S_ABC
S_ABP+9/7*S_ABP=S_ABC
16/7*S_ABP=S_ABC
S_ABP=7/16*S_ABC
Далее найдем площадь треугольника BPK:
S_BPK=S_ABP-S_ABK
Ранее мы нашли, что S_ABK=14S_ABC/23
S_BPK=7S_ABC/16-14S_ABC/46=322S_ABC/736-224S_ABC/736=98S_ABC/736=49S_ABC/368
Найдем площадь четырехугольника KPCM:
S_KPCM=S_CMB-S_BKP
S_KPCM=S_ABC/2-49S_ABC/368, (площадь CMB мы нашли ранее),
S_KPCM=184S_ABC/368-49S_ABC/368=135S_ABC/368
Отношение площадей ABK к KPCM =(14S_ABC/46)/(135S_ABC/368)=(14*368)/(46*135)=(14*8)/135=112/135
Ответ: отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM=112/135.