ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №66BA84

Решение задачи:

Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD - равнобедренный.
BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=192/2=96.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). S_EDC=S_EDB=(BE*OD)/2=(192*96)/2=96*96=9216
S_ABE=(BE*AO)/2=(192*96)/2=9216
Т.е. S_ABE=S_EDC=S_EDB=9216
Тогда, S_ABС=3*9216=27648
AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по второму свойству медианы).
S_ABD=(AD*BO)/2=S_ABC/2
(192*BO)/2=27648/2
BO=27648/192=144
Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора:
AB²=BO²+AO²
AB²=144²+96²
AB²=20736+9216=29952
AB=√29952= √16*1872=√16*16*9*13=4*4*3√13=48√13
BC=2AB=2*48√13=96√13
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=192-144=48
Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора:
AE²=AO²+OE²
AE²=96²+48²=9216+2304=11520
AE=√11520=√16*16*9*5=4*4*3*√5=48√5
Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
96√13/48√13=CE/(48√5)
2=CE/(48√5)
CE=96√5
AC=AE+CE=48√5+96√5=144√5
Ответ: AB=48√13, BC=96√13, AC=144√5