Высоты остроугольного треугольника ABC, проведённые из точек B и C, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках B1 и C1. Оказалось, что отрезок B1C1 проходит через центр описанной окружности. Найдите угол BAC.
∠BAC является
вписанным углом и опирается на малую дугу CB.
Проведем отрезок CB1, ∠CB1B тоже является
вписанным и опирается на ту же дугу, следовательно, ∠BAC=∠CB1B.
B1C1 является диаметром окружности, так как проходит через ее центр. Следовательно, B1C1 делит окружность на две дуги по 180°
∠B1CC1 тоже
вписанный и опирается на дугу в 180°, по
теореме о вписанном угле ∠B1CC1=180°/2=90°.
Обозначим еще три точки, как показано на рисунке ниже:
Точки E и F - точки пересечения
высот и сторон треугольника ABC, G - точка пересечения
высот.
Рассмотрим треугольники B1CG и BFG.
∠CGB1=∠BGF (так как они
вертикальные).
∠B1CG=∠BFG (так как они оба прямые).
Следовательно, по
теореме о сумме углов треугольника, ∠СB1G=∠GBF
Следовательно, ∠GBF так же равен и ∠BAC
Рассмотрим треугольник AEB.
∠AEB=90° (так как BE -
высота).
∠BAC=∠GBF
Тогда, используя
теорему о сумме углов треугольника получаем, что каждый из углов BAC и GBF равен по 45°.
Ответ: ∠BAC=45°
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Найдите величину угла DOK, если OK — биссектриса угла AOD, ∠DOB=52°. Ответ дайте в градусах.
Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ=44, SQ=16.
Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 6 м и 7 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 25 см. Сколько потребуется таких дощечек?
Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии: