ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №D22388

Задача №579 из 1087
Условие задачи:

Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Решение задачи:

Рассмотрим трапецию ACO₁O₂
Данная трапеция прямоугольная, т.к. радиусы перпендикулярны касательной AC (по свойству касательной).
Проведем O₂K параллельно AC, O₂K=AC, т.к. ACKO₂ - прямоугольник. По теореме Пифагора:
(O₁O₂)²=(O₂K)²+(KO₁)²
(R+r)²=(O₂K)²+(R-r)²
(100+25)²=(O₂K)²+(100-25)²
15625=(O₂K)²+5625
(O₂K)²=10000
O₂K=100=AC
Рассмотрим треугольники OAO₂ и OCO₁ (cм. Рис.1).
∠AOO₂ - общий
∠OAO₂=∠OCO₁=90°
Следовательно эти треугольники подобны (по первому признаку подобия треугольников).
Тогда, R/r=OC/OA
100/25=OC/AO=(AO+AC)/AO
4AO=AO+100
3OA=100
OA=100/3
Из подобия этих же треугольников:
R/r=O₁0/O₂O
R/r=(O₂O+R+r)/O₂O
100/25=(O₂O+100+25)/O₂O
4(O₂O)=O₂O+125
3(O₂O)=125
O₂O=125/3
Обозначим угол ∠AOO₂ как α
cosα=OA/OO₂=(100/3)/(125/3)=100/125=0,8
Посмотрим на треугольники OAE и OCF.
Они прямоугольные по второму свойству хорды.
Тогда для треугольника OAE:
cosα=OE/OA
OE=OA*cosα=(100/3)*0,8=80/3
Для треугольника OCF:
cosα=OF/OC
OF=OC*cosα=(OA+AC)*cosα= (100/3+100)*0,8=80/3+80=(80+3*80)/3=320/3
EF=OF-OE=320/3-80/3=240/3=80
Ответ: EF=80