ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №8D1B00

Задача №794 из 1087
Условие задачи:

Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC относится к длине стороны AB как 6:5. Найдите отношение площади треугольника AKM к площади четырёхугольника KPCM.

Решение задачи:

BM - медиана треугольника АВС, следовательно, она делит этот треугольник на два равных по площади треугольника ( свойство медианы).
S_ABM=S_CMB=S_ABC/2
Рассмотрим треугольник ABM.
S_ABK+S_AKM=S_ABM=S_ABC/2
AP - биссектриса, по теореме о биссектрисе можно записать AM/AB=KM/BK.
По условию задачи AC/AB=6/5.
AM=AC/2 => AC=2AM
Подставляем это значение AC в равенство AC/AB=6/5:
2AM/AB=6/5
AM/AB=6/10=3/5
AM/AB=KM/BK=3/5
KM=3/5*BK
Т.к. площадь треугольника вычисляется по формуле S=1/2*h*a, где а-основание и h-высота, то можем записать:
S_AKM=1/2*h*KM=1/2*h*(3/5*BK)=3/5*(1/2*h*BK)=3/5*S_ABK (т.к. высота h для этих треугольников общая)
S_ABK=5/3*S_AKM
S_ABK+S_AKM=S_ABM=S_ABC/2
5/3*S_AKM+S_AKM=S_ABC/2
8/3*S_AKM=S_ABC/2
S_AKM=3/16*S_ABC
По тому же свойству биссектрисы для треугольника ABC получаем, что AC/AB=CP/PB
AC/AB=6/5 (по условию задачи), следовательно, CP=6/5*PB
S_APC=1/2*h*CP=1/2*h*(6/5*PB)=6/5*(1/2*h*PB)=6/5*S_ABP,
S_ABP+S_APC=S_ABC
S_ABP+6/5*S_ABP=S_ABC
11/5*S_ABP=S_ABC
S_ABP=5/11*S_ABC
S_KPCM=S_ABC-S_ABP-S_AKM=S_ABC-5/11*S_ABC-3/16*S_ABC=176/176*S_ABC-80/176*S_ABC-33/176*S_ABC=63/176*S_ABC
Отношение S_AKM к S_KPCM равно (3/16*S_ABC)/(63/176*S_ABC)=(3/16)/(63/176)=(3*176)/(16*63)=(3*11)/(63)=11/21
Ответ: 11/21