Новость

2015-03-01
Как показала практика, наш сайт не всегда эффективно используются.
Пользователи не мо...читать далее

Юмор

Автор: Анна
Учиться, учиться и еще раз учиться лучше, чем работать, работать и работать...читать далее

ОГЭ, 9-й класс. Математика: Геометрия


Задача №565 из 883. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 361445


Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=25 и CD=16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠ AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Решение задачи:

Вариант №1
Проведем хорду DE параллельно AC.
Получается, что ACDE - трапеция, вписанная в окружность. А так как только равнобедренную трапецию можно вписать в окружность, то AE=CD=16.
∠AKB=∠CKD=60° (так как это вертикальные углы).
Так как AC параллельна ED (мы сами так провели), то KD мы можем рассматривать как секущую. Тогда ∠CKD=∠EDK=60° (так как это накрест лежащие углы).
Рассмотрим четырехугольник ABDE.
Данный четырехугольник тоже вписан в окружность, следовательно, сумма противоположных углов равна 180° (по теореме).
∠EAB+∠BDE=180°
∠EAB=180°-∠BDE
∠EAB=180°-60°=120°
Проведем BE и рассмотрим треугольник ABE.
По теореме косинусов найдем BE:
BE2=AB2+AE2-2AB*AE*cos∠EAB
BE2=252+162-2*25*16*cos120°
cos120°=-1/2=-0,5 (по таблице).
BE2=625+256-800*(-0,5)
BE2=1281
BE=1281
Этот треугольник тоже вписан в ту же окружность, запишем для него теорему синусов:


Ответ: 427


Вариант №2
Пусть R - радиус окружности.
Рассмотрим треугольник BCA.
Этот треугольник вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
AB/sin(∠BCA)=2R
AB=2Rsin(∠BCA)
Рассмотрим треугольник BCD.
Этот треугольник тоже вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
CD/sin(∠CBD)=2R
CD=2Rsin(∠CBD)
Рассмотрим треугольник BCK.
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CBD+∠BCA+∠CKB=180°
∠AKB - является смежным по отношению к ∠CKB, следовательно ∠CKB=180°-∠AKB. Подставляем в уравнение выше:
∠CBD+∠BCA+(180°-∠AKB)=180°
∠CBD+∠BCA+(180°-60°)=180°
∠CBD+∠BCA=60°
Для простоты обозначим ∠BCA=а и ∠CBD=b, т.е. a+b=60°
a=60°-b
25=AB=2Rsin(a)
16=CD=2Rsin(60°-a)=2R(sin60°cos(a)-cos60°sin(a))=2R((3/2)*cos(a)-(1/2)*sin(a))=R(3cos(a)-sin(a)) (применена тригонометрическая формула)
Разделим второе уравнение на первое:
16/25=R(3cos(a)-sin(a))/(2Rsin(a))
16/25=(3cos(a)-sin(a))/(2sin(a))
16*2sin(a)=25*(3cos(a)-sin(a))
32sin(a)=253cos(a)-25sin(a)
57sin(a)=253cos(a)
Возведем правую и левую части в квадрат:
3249sin2(a)=625*3cos2(a)
3249sin2(a)=1875(1-sin2(a)) (применена основная тригонометрическая формула)
3249sin2(a)=1875-1875sin2(a))
5124sin2(a)=1875
sin2(a)=1875/5124
sin2(a)=625/1708
sin(a)=625/1708
sin(a)=25/1708
sin(a)=25/(2427)
25=2R*25/(2427)
1=R/(427)
R=427
Ответ: R=427

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'


Обратите внимание!!!

Вы можете посмотреть эту и другие задачи в более удобном интерфейсе, в котором выделено поле для дополнительных материалов, использованных для решения. Организован удобный поиск и переход между задачами. Запомните номер этой задачи и введите его в левом меню интерфейса.


Комментарии:


(2016-10-16 23:38:20) Георгий : AB/sin(/BCA)=2R => AB=2Rsin(/BCA). Потом написано: /BCA=b /CBD=a и далее: AB=2Rsin(a). Разве не должно быть так: AB=2Rsin(b) и CD=2Rsin(b-60)?
(2016-10-16 23:43:40) Георгий : (60-b) (опечатался) и в ответе , кстати, написан корень из 133. :/
(2016-10-17 00:05:27) Администратор: Георгий, про обозначение углов Вы правы, исправлено. В остальном в решении ошибок не найдено. По поводу ответа: в других источниках данная задача решена другим способом, но ответ получился такой же как здесь. Напишите, пожалуйста, из какого источника взят ответ "корень из 133"?
(2016-10-17 01:55:06) Георгий : Упс... Ответ-то правильный, да, это всё я) Ответ "корень из 133" из другой задачи такого же типа и похожим, но разным условием. Извините за такой уж переполох, в целом спасибо.)
(2016-10-17 02:37:33) Администратор: Георгий, ничего страшного, лишний раз перепроверить - не лишнее (пардон за тавтологию). И спасибо за найденную опечатку.
(2017-03-10 20:41:49) Иман: Задача 2. Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересечены в точке М. Найдите АМВ, если А = 58°, В = 96°. Задача 3. Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при основании в два раза больше угла, противолежащего основанию; б) угол при основании в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним. Задача 4. Медиана АМ треугольника АВС равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный. Задача 5. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.
(2017-03-10 22:22:11) Администратор: Иман, Мы не помогаем решить домашнее задание, цель сайта - подробно разобрать задачи, которые будут на экзаменах, чтобы учащиеся научились их решать самостоятельно. Если найдете похожую задачу на сайте fipi.ru, отправте заявку на добавление задачи, и мы ее обязательно добавим.
(2017-04-12 10:53:23) : Не удивило, что для решения задачи используются теорема синусов, с использованием радиуса описанной окружности, хотя этого нет в учебнике (дети могли до этого дойти сами), но в решении используется тригонометрическая формула синуса разности, она изучается только в 10-м классе.
(2017-04-17 01:57:35) Администратор: По поводу теоремы синусов - не согласен, везде говорится о радиусе описанной окружности, а по поводу тригонометрической формулы - согласен. Поэтому привожу еще один вариант решения. Спасибо за то, что указали на этот факт.
(2017-05-20 11:08:36) Alissa: Хочу предложить ещё один вариант решения этой задачи без дополнительного построения: Рассмотрим треугольник АСD,АС=25+16=41,СD=16,угол С=60гр.По теореме косинусов найдём сторону АD=√1281. Потом найдём площадь треугольника АСD по формуле S=1/2*AC*DC*sinC, S=1/2*41*16*sin60=164√3. Осталось найти R по формуле R=(abc)/4S. R=(41*16*√1281)/4*164√3=√427. ОТВЕТ:√427
(2017-05-20 17:00:51) Лана: А почему АС равно сумме сторон?
(2017-05-28 22:15:57) Администратор: Alissa, я не понял, почему AC=25+16?

Хочу получать новые решения

email рассылки Ни какого спама

email рассылки
X

9-й класс, ОГЭ: Математика

11-й класс, ЕГЭ: Математика (базовый уровень)

X

Введите порядковый номер задачи для раздела 'ОГЭ, 9-й класс. Математика: Геометрия' (от 1 до 883)

X

Введите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X

Значение не введено

X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:

Рейтинг@Mail.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2017. Все права защищены. Яндекс.Метрика