ОГЭ, Математика.
Функции: Задача №5A5902

Задача №275 из 287
Условие задачи:

Постройте график функции y=|x|(x+1)-3x.
Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение задачи:

В данной функции присутствуем модуль, следовательно функцию надо разложить на две подфункции, в зависимости от значения модуля:
y=x(x+1)-3x, при x≥0
y=(-x)(x+1)-3x, при x<0

y=x²+x-3x, при x≥0
y=-x²-x-3x, при x<0

y=x²-2x, при x≥0
y=-x²-4x, при x<0

Рассмотрим и построим график для каждой подфункции и объединим их.
1) y=x²-2x, при x≥0
Графиком данной подфункции является парабола. Ветви этой параболы направлены вверх, так как коэффициент при x² положительный.
Найдем корни уравнения x²-2x=0
x(x-2)=0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, поэтому рассмотрим два случая:
1) x₁=0
2) x-2=0
x₂=2
Построим график по точкам:

X	0	1	2	3
Y	0	-1	0	3

2) y=-x²-4x, при x<0
Графиком данной подфункции является парабола. Ветви этой параболы направлены вниз, так как коэффициент при x² отрицательный.
Найдем корни уравнения -x²-4x=0
-x(x+4)=0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, поэтому рассмотрим два случая: 1) x₁=0
2) x+4=0 => x₂=-4
Построим график по точкам:

X	0	-1	-2	-3	-4
Y	0	3	4	3	0

Красный график: y=x²-2x, при x≥0
Синий график: y=-x²-4x, при x<0
Зеленые прямые: y=m
Как видно, две точки пересечения будет только когда прямая будет касаться вершин парабол.
Найдем координату Y вершин парабол.
1) Для первой подфункции
x₀=-b/(2a)=-(-2)/(2*1)=2/2=1
y₀=1²-2*1=1-2=-1
2) Для второй подфункции
x₀=-b/(2a)=-(-4)/(2*(-1))=4/(-2)=-2
y₀=-(-2)²-4*(-2)=-4+8=4
Ответ: m₁=-1, m₂=4

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...