Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC относится к длине стороны AB как 9:7. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.
BM -
медиана треугольника АВС,
следовательно, она делит этот треугольник на два равных по площади треугольника (
свойство медианы).
SABM=SCMB=SABC/2
Рассмотрим треугольник ABM.
SABK+SAKM=SABM=SABC/2
AP -
биссектриса, по
теореме о биссектрисе можно записать
AM/AB=KM/BK.
По условию задачи AC/AB=9/7, следовательно, 2AM/AB=9/7 => AM/AB=9/14 => KM/BK=9/14
Т.к. площадь треугольника вычисляется по формуле S=1/2*h*a, где а-основание и h-высота, то можем записать:
SAKM=1/2*h*KM=1/2*h*((9/14)*BK)=9/14*(1/2*h*BK)=9/14*SABK (т.к. высота h для этих треугольников общая)
SABK+SAKM=SABM=SABC/2
SABK+9/14*SABK=SABC/2
23/14*SABK=SABC/2
SABK=14SABC/46
По тому же
свойству биссектрисы для треугольника ABC получаем, что AC/AB=CP/PB
AC/AB=9/7 (по условию задачи) => CP/PB=9/7 следовательно, CP=9*PB/7
SAPC=1/2*h*PC=1/2*h*(9*PB/7)=9/7*(1/2*h*PB)=9/7*SABP,
SABP+SAPC=SABC
SABP+9/7*SABP=SABC
16/7*SABP=SABC
SABP=7/16*SABC
Далее найдем площадь треугольника BPK:
SBPK=SABP-SABK
Ранее мы нашли, что SABK=14SABC/23
SBPK=7SABC/16-14SABC/46=322SABC/736-224SABC/736=98SABC/736=49SABC/368
Найдем площадь четырехугольника KPCM:
SKPCM=SCMB-SBKP
SKPCM=SABC/2-49SABC/368, (площадь CMB мы нашли ранее),
SKPCM=184SABC/368-49SABC/368=135SABC/368
Отношение площадей ABK к KPCM =(14SABC/46)/(135SABC/368)=(14*368)/(46*135)=(14*8)/135=112/135
Ответ: отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM=112/135.
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 45° и 40°. Найдите больший угол параллелограмма.
На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=75 и BC=10. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.
От столба высотой 9 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 4 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 12 м. Вычислите длину провода.
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP=18, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB.
В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, СН — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 16, а меньшее основание BC равно 6.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
, где mc — медиана к стороне c; a, b, c — стороны треугольника. В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника в 4/3 раза меньше суммы квадратов его сторон: 
, где ma, mb, mc медианы к соответствующим сторонам треугольника, a, b, c — стороны треугольника. 
Автор: Таська
Комментарии:
(2022-07-14 17:00:49) Ульяна: Почему высота у треугольника ABK и треугольника AMK общая