ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №11901D

Задача №522 из 1087
Условие задачи:

Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 16, а площадь равна 32√3.

Решение задачи:

Пусть а и b - катеты треугольника, с - гипотенуза.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S=ab/2=32√3
ab=64√3
a=64√3/b
По теореме Пифагора:
c²=a²+b²
16²=(64√3/b)²+b² |*b²
256b²=64²*3+b⁴
b⁴-256b²+12288=0
Обозначим b²=t
t²-256t+12288=0
Решим это квадратное уравнение: D=(-256)²-4*12288=65536-49152=16384
√D=√16384=√4*4096=√4*4*1024=√4*4*4*256=2*2*2*16=128
t₁=(-(-256)+128)/2=192
t₂=(-(-256)-128)/2=64
Рассмотрим оба случая: 1) t=192=b²
b=√192=8√3
По определению, cosα=b/c=8√3/16=√3/2
α=30° (по таблице)
По теореме о сумме углов треугольника, второй острый угол равен 180°-90°-30°=60°
2) t=64=b²
b=8
По определению, cosα=b/c=8/16=1/2
α=60° (по таблице)
По теореме о сумме углов треугольника, второй острый угол равен 180°-90°-60°=30°
Ответ: 30° и 60°

Вариант 2 (прислал пользователь Людмила)

Проведем из прямого угла медиану и высоту, обозначив их m и h соответственно.
Если описать окружность вокруг треугольника, то центр этой окружности будет лежать на середине гипотенузы (по теореме об описанной окружности). Следовательно:
m=c/2=16/2=8
S=(1/2)hc => h=2S/c=2*32√3/16=4√3
По определению синуса:
sinβ=h/m=4√3/8=√3/2
По таблице определяем, что β=60°
Угол γ является внешнем к β, следовательно γ=180°-β=180°-60°=120°
Треугольник, содержащий угол γ, равнобедренный, так как медиана m и половина гипотенузы равны (это мы выяснили ранее).
Следовательно, по свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны (обозначены α).
Тогда, по теореме о сумме углов треугольника:
180°=γ+α+α
180°=120°+2α
α=30° - это один из искомых углов.
Другой искомый угол найдем по той же теореме об углах треугольника: 180°-90°-30°=60°
ответ: 30° и 60°

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Другие задачи из этого раздела

Задача №92C757

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
2) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.