Высоты остроугольного треугольника ABC, проведённые из точек B и C, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках B1 и C1. Оказалось, что отрезок B1C1 проходит через центр описанной окружности. Найдите угол BAC.
∠BAC является
вписанным углом и опирается на малую дугу CB.
Проведем отрезок CB1, ∠CB1B тоже является
вписанным и опирается на ту же дугу, следовательно, ∠BAC=∠CB1B.
B1C1 является диаметром окружности, так как проходит через ее центр. Следовательно, B1C1 делит окружность на две дуги по 180°
∠B1CC1 тоже
вписанный и опирается на дугу в 180°, по
теореме о вписанном угле ∠B1CC1=180°/2=90°.
Обозначим еще три точки, как показано на рисунке ниже:
Точки E и F - точки пересечения
высот и сторон треугольника ABC, G - точка пересечения
высот.
Рассмотрим треугольники B1CG и BFG.
∠CGB1=∠BGF (так как они
вертикальные).
∠B1CG=∠BFG (так как они оба прямые).
Следовательно, по
теореме о сумме углов треугольника, ∠СB1G=∠GBF
Следовательно, ∠GBF так же равен и ∠BAC
Рассмотрим треугольник AEB.
∠AEB=90° (так как BE -
высота).
∠BAC=∠GBF
Тогда, используя
теорему о сумме углов треугольника получаем, что каждый из углов BAC и GBF равен по 45°.
Ответ: ∠BAC=45°
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Основания равнобедренной трапеции равны 3 и 17, боковая сторона равна 25. Найдите длину диагонали трапеции.
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 120°, а CD=34.
Один из углов параллелограмма равен 111°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте
в градусах.
Проектор полностью освещает экран A высотой 50 см, расположенный на расстоянии 140 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 260 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?
Синус острого угла A треугольника ABC равен 
. Найдите CosA.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии: