Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 60, тангенс угла BAC равен 5/12. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Вариант №1
Рассмотрим треугольники ABC и BCP.
∠ABC - общий.
∠ACB=∠BPC=90° (т.к. CP -
высота).
По
первому признаку подобия треугольников, данные треугольники
подобны.
Следовательно, BC/AC=BP/BC=BC/AB=k.
k - коэффициент подобия.
Заметим, что BC/AB - это sinA (по
определению), найдем его:
tgA=(sinA)/(cosA)=5/12
cosA=(12sinA)/5=2,4sinA
По основной тригонометрической формуле:
sin2A+cos2A=1
sin2A+(2,4sinA)2=1
sin2A+5,76sin2A=1
6,76sin2A=1
sin2A=1/6,76
sinA=1/2,6=k
Дальше тонкий момент:
По свойству подобных треугольников отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия.
Радиус
вписанной окружности имеет линейную зависимость от периметра треугольника (
третье свойство), следовательно отношение радиусов подобных треугольников тоже подчиняется коэффициенту подобия.
Т.е. r/R=k
R=r/k=60/(1/2,6)=60*2,6=156.
Ответ: R=156
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=19.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
2) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
3) Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон.
Углы при одном из оснований трапеции равны 77° и 13°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.
Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите BC, если AB=26.
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 48 и 3, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=3.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2015-04-12 17:00:19) Администратор: AB2=144*CB2/25+CB2=144*CB2/25+25CB2/25=(144CB2+25CB2)/25=169CB2/25
(2015-04-12 16:52:31) : AB2=144*CB2/25+CB2 AB2=169*CB2/25 почему исчезло CB?
(2015-03-18 20:20:21) Администратор: Всеволод, напишите, мне пожалуйста, на zapros@otvet-gotov.ru, давайте дискутировать по почте, чтобы не "взрывать мозг" другим пользователям )
(2015-03-18 20:14:32) Администратор: Всеволод, большое Вам спасибо за такую упорную борьбу за истину. Дискутировать с таким оппонентом - одно удовольствие. В чем я с Вами согласен, так это в том, что использованная мной формула мало известна и, действительно, требует доказательства. Т.е. использовать ее как есть не очень корректно в данном случае. Но именно по этой же причине, некорректно утверждать, что R/r=k, это надо показать. Мы с Вами понимаем, что высоты, медианы и т.д. "подчиняются" коэффициенту подобия, площади подобных треугольников уже "не подчиняются". Для обычного школьника эти тонкости не очевидны. Вы меня убедили, что надо написать более корректное решение. Я этим займусь немного позже, сейчас очень много запросов на новые задачи. Еще раз спасибо Вам!
(2015-03-18 13:26:43) Всеволод: В учебнике А.В.Погорелова на стр. 154 есть определение подобия как преобразования, а потом несколько страниц достаточно подробно говорится о его свойствах и приводятся хорошие примеры. В учебнике под редакцией А.Н.Тихонова на стр. 138 о подобии сказано лишь: "В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными". Другие учебники не смотрел, но допускаю, что они могут существенно различаться. В Кодификаторе элементов ФИПИ есть пункт 7.1.6 "Преобразование плоскости. Движения. Симметрия." Да, сказано мало, но это про преобразование подобия. Мне кажется, что отношение соответствующих радиусов и высот у подобных треугольников доказывать не надо потому, что это является одним из основных свойств преобразования подобия. Согласен с тем, что на учебники, которые рассматривают сразу лишь признаки подобия треугольников без упоминания о преобразовании подобия так опереться не получится. Если считать, что определение подобия как преобразования в программе и учебниках отсутствует, то вы правы, нужно гонять известные формулы. Рассмотрим площадь треугольника S=(b*c*sinA)/2 (еще подойдёт формула Герона, но с проверкой всех учебников). Из неё выходит, что площади подобных треугольников относятся как квадрат их коэффициента подобия и об этом говорится везде. Тогда соответствующие радиусы и высоты тоже подобны с тем же коэффициентом, потому что везде есть формулы для площади S=a*b*c/4R, S=p*r и S=a*h/2. Вы использовали в решении формулу r=(a+b-c)/2, упоминание о которой не так просто будет найти в некоторых учебниках. Вообще, всегда можно попросить доказать все применённые в решении формулы и утверждения. Но тогда начинать придётся с "Начал" планиметрии или защищаться фразой "из программы", а это уже субстанция дискуссионная. Если же считать, что понятие преобразования подобия в программе всё же есть, то ссылка в решении на его свойства выглядит мощнее и легче, чем применение известных формул.
(2015-03-09 16:23:33) Администратор: Всеволод, Ваше решение в целом правильное, кроме одного НО. Вы ссылаетесь на свой "жизненный опыт", а не на теоремы или определения "Отношение радиусов вписанных окружностей у подобных треугольников тоже равно коэффициенту подобия". Это нужно доказать математически, а не голословно, даже, если это очевидно. "Ведь по определению подобия все линейные размеры фигуры увеличиваются в k раз (стороны, медианы, высоты, биссектрисы, диагонали и радиусы вписанной и описанной окружностей)" - в определении подобия ничего похожего нет. ОПР.: Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника. Все остальное надо доказывать в решении...Если я не прав, то пришлите, пожалуйста, ссылку на материалы, где подтверждаются Ваши слова.
(2015-03-07 16:55:58) Всеволод: Треугольники CBP и ABC подобны с коэффициентом подобия k=BC/AB, а это ведь sinA. Используя основное тригонометрическое тождество и определение tgA, можно найти sinA из системы: (sinA)^2+(cosA)^2=1 sinA/cosA=5/12=tgA Получается, что sinA=5/13 Отношение радиусов вписанных окружностей у подобных треугольников тоже равно коэффициенту подобия. Ведь по определению подобия все линейные размеры фигуры увеличиваются в k раз (стороны, медианы, высоты, биссектрисы, диагонали и радиусы вписанной и описанной окружностей). Итак, соотношение радиусов у нас равно r/R=5/13,откуда R=156.