Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=25 и CD=16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠
AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Вариант №1
Проведем хорду DE параллельно AC.
Получается, что ACDE -
трапеция, вписанная в окружность. А так как только равнобедренную трапецию можно вписать в окружность, то AE=CD=16.
∠AKB=∠CKD=60° (так как это
вертикальные углы).
Так как AC параллельна ED (мы сами так провели), то KD мы можем рассматривать как секущую. Тогда ∠CKD=∠EDK=60° (так как это
накрест лежащие углы).
Рассмотрим четырехугольник ABDE.
Данный четырехугольник тоже вписан в окружность, следовательно, сумма противоположных углов равна 180° (по
теореме).
∠EAB+∠BDE=180°
∠EAB=180°-∠BDE
∠EAB=180°-60°=120°
Проведем BE и рассмотрим треугольник ABE.
По теореме косинусов найдем BE:
BE2=AB2+AE2-2AB*AE*cos∠EAB
BE2=252+162-2*25*16*cos120°
cos120°=-1/2=-0,5 (по таблице).
BE2=625+256-800*(-0,5)
BE2=1281
BE=√
Этот треугольник тоже вписан в ту же окружность, запишем для него
теорему синусов:
Ответ: √
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.
В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 50° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 65° и 85°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 14.
Укажите номера верных утверждений.
1) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.
2) Сумма смежных углов равна 180°.
3) Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2017-05-28 22:15:57) Администратор: Alissa, я не понял, почему AC=25+16?
(2017-05-20 17:00:51) Лана: А почему АС равно сумме сторон?
(2017-05-20 11:08:36) Alissa: Хочу предложить ещё один вариант решения этой задачи без дополнительного построения: Рассмотрим треугольник АСD,АС=25+16=41,СD=16,угол С=60гр.По теореме косинусов найдём сторону АD=√1281. Потом найдём площадь треугольника АСD по формуле S=1/2*AC*DC*sinC, S=1/2*41*16*sin60=164√3. Осталось найти R по формуле R=(abc)/4S. R=(41*16*√1281)/4*164√3=√427. ОТВЕТ:√427
(2017-04-17 01:57:35) Администратор: По поводу теоремы синусов - не согласен, везде говорится о радиусе описанной окружности, а по поводу тригонометрической формулы - согласен. Поэтому привожу еще один вариант решения. Спасибо за то, что указали на этот факт.
(2017-04-12 10:53:23) : Не удивило, что для решения задачи используются теорема синусов, с использованием радиуса описанной окружности, хотя этого нет в учебнике (дети могли до этого дойти сами), но в решении используется тригонометрическая формула синуса разности, она изучается только в 10-м классе.
(2017-03-10 22:22:11) Администратор: Иман, Мы не помогаем решить домашнее задание, цель сайта - подробно разобрать задачи, которые будут на экзаменах, чтобы учащиеся научились их решать самостоятельно. Если найдете похожую задачу на сайте fipi.ru, отправте заявку на добавление задачи, и мы ее обязательно добавим.
(2017-03-10 20:41:49) Иман: Задача 2. Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересечены в точке М. Найдите АМВ, если А = 58°, В = 96°. Задача 3. Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при основании в два раза больше угла, противолежащего основанию; б) угол при основании в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним. Задача 4. Медиана АМ треугольника АВС равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный. Задача 5. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.
(2016-10-17 02:37:33) Администратор: Георгий, ничего страшного, лишний раз перепроверить - не лишнее (пардон за тавтологию). И спасибо за найденную опечатку.
(2016-10-17 01:55:06) Георгий : Упс... Ответ-то правильный, да, это всё я) Ответ "корень из 133" из другой задачи такого же типа и похожим, но разным условием. Извините за такой уж переполох, в целом спасибо.)
(2016-10-17 00:05:27) Администратор: Георгий, про обозначение углов Вы правы, исправлено. В остальном в решении ошибок не найдено. По поводу ответа: в других источниках данная задача решена другим способом, но ответ получился такой же как здесь. Напишите, пожалуйста, из какого источника взят ответ "корень из 133"?
(2016-10-16 23:43:40) Георгий : (60-b) (опечатался) и в ответе , кстати, написан корень из 133. :/
(2016-10-16 23:38:20) Георгий : AB/sin(/BCA)=2R => AB=2Rsin(/BCA). Потом написано: /BCA=b /CBD=a и далее: AB=2Rsin(a). Разве не должно быть так: AB=2Rsin(b) и CD=2Rsin(b-60)?