ОГЭ, Математика. Геометрия: Задача №D31B80 | Ответ-Готов 



Юмор

Автор: Таська
Так выглядит современная программа обучения.
...читать далее

ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №D31B80

Задача №603 из 1087
Условие задачи:

В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM=4:1.Прямая AK пересекает сторону BC в точке P.Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.

Решение задачи:

BM - медиана треугольника АВС, следовательно, она делит этот треугольник на два равных по площади треугольника ( свойство медианы).
SABM=SCMB=SABC/2
Рассмотрим треугольник ABM и проведем высоту из вершины А.
Высота h так же является высотой для треугольников ABK и AKM.
Значит их площади:
SABK=h*BK*1/2
SAKM=h*KM*1/2
Найдем отношение этих площадей:
SABK/SAKM=(h*BK*1/2)/(h*KM*1/2)
SABK/SAKM=BK/KM=4
Т.е. SAKM=SABK/4
SABK+SAKM=SABM=SABC/2
SABK+SABK/4=SABC/2
SABK*5/4=SABC/2
SABK=(SABC/2)*4/5
SABK=2*SABC/5
SAKM=SABK/4=(2*SABC/5)/4=SABC/10
Проведем отрезок CK и рассмотрим треугольники AKM и CKM.
Проведем высоту KF. Эта высота является общей для обоих этих треугольников. Площади этих треугольников:
SAKM=KF*AM*1/2
SCKM=KF*CM*1/2
KF=CM (так как BM- медиана), следовательно SAKM=SCKM=SABC/10
Тогда SCKB=SCMB-SCKM=SABC/2-SABC/10=5*SABC/10-SABC/10=4*SABC/10=2*SABC/5
Вернемся к первоначальному рисунку и проведем отрезок MR, параллельный AP.
Для треугольника APC MR - средняя линия, так как проходит через середину AC и параллельна AP.
Следовательно, по теореме о средней линии, PR=RC.
Рассмотрим треугольники MBR и KBP.
∠MBR - общий для обоих треугольников.
∠BKP=∠BMR, так как они соответственные (для параллельных прямых KP и MR и секущей MB).
Значит, по первому признаку, данные треугольники подобны.
Следовательно:
BM/BK=BR/BP
(BK+KM)/BK=(BP+PR)/BP
1+KM/BK=1+PR/BP
KM/BK=PR/BP=1/4 (по условию задачи)
Проведем высоту KD, как показано на рисунке.
KD - является высотой для треугольников KBP и KCP.
SKBP=KD*BP*1/2
SKCP=KD*CP*1/2=KD*(PR+CR)*1/2=KD*(2PR)*1/2
Найдем отношение этих площадей:
SKBP/SKCP=(KD*BP*1/2)/(KD*(2PR)*1/2)
SKBP/SKCP=BP/(2PR)=(BP/PR)/2=(4/1)/2=2
SKBP=2*SKCP
SCKB=2*SABC/5=SKBP+SKCP=2*SKCP+SKCP=3*SKCP
2*SABC/5=3*SKCP
SKCP=2*SABC/15
SKPCM = SCKM+SKCP = SABC/10+SABC*2/15 = SABC*3/30+SABC*4/30 = SABC*7/30
SABK/SKPCM=(SABC*2/5)/(SABC*7/30)
SABK/SKPCM=(2/5)/(7/30)=(2/5)*(30/7)=(2*30)/(5*7)=(2*6)/7=12/7
Ответ: 12/7

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'


Другие задачи из этого раздела



Задача №83290A

Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 45° соответственно. Ответ дайте в градусах.



Задача №1138AC

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2) В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
3) Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.



Задача №F33966

В треугольнике ABC AC=35, BC=515, угол C равен 90∘. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.



Задача №B7AE64

Катеты прямоугольного треугольника равны 521 и 10. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.



Задача №69CD50

В треугольнике ABC угол C равен 150°, AB=4. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Комментарии:


(2015-02-09 15:58:35) Администратор: Маша, рады, что наш сайт полезен!
(2015-02-09 15:09:31) маша: Спасибо, с вами легче учиться!!!

Хочу получать новые решения

email рассылки Ни какого спама

email рассылки
X

Значение не введено

X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:


Рейтинг@Mail.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2021. Все права защищены. Яндекс.Метрика