ОГЭ, Математика. Геометрия: Задача №CF2D65 | Ответ-Готов 



Юмор

Автор: Таська
Так выглядит современная программа обучения.
...читать далее

ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №CF2D65

Задача №594 из 1087
Условие задачи:

В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM=10:9. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника ABC.

Решение задачи:

BM - медиана треугольника АВС, следовательно, она делит этот треугольник на два равных по площади треугольника ( свойство медианы).
SABM=SCMB=SABC/2
Рассмотрим треугольник ABM и проведем высоту из вершины А.
Высота h так же является высотой для треугольников ABK и AKM.
Значит их площади:
SABK=h*BK*1/2
SAKM=h*KM*1/2
Найдем отношение этих площадей:
SABK/SAKM=(h*BK*1/2)/(h*KM*1/2)
SABK/SAKM=BK/KM=10/9
Т.е. SABK=SAKM*10/9
SABK+SAKM=SABM=SABC/2
SAKM*10/9+SAKM=SABC/2
SAKM*19/9=SABC/2
SAKM=(SABC/2)*9/19
SAKM=9*SABC/38
Проведем отрезок CK и рассмотрим треугольники AKM и CKM.
Проведем высоту KF. Эта высота является общей для обоих этих треугольников. Площади этих треугольников:
SAKM=KF*AM*1/2
SCKM=KF*CM*1/2
KF=CM (так как BM- медиана), следовательно SAKM=SCKM=9*SABC/38
Тогда SCKB=SCMB-SCKM=SABC/2-9*SABC/38=19*SABC/38-9*SABC/38=10*SABC/38
Вернемся к первоначальному рисунку и проведем отрезок MR, параллельный AP.
Для треугольника APC MR - средняя линия, так как проходит через середину AC и параллельна AP.
Следовательно, по теореме о средней линии, PR=RC.
Рассмотрим треугольники MBR и KBP.
∠MBR - общий для обоих треугольников.
∠BKP=∠BMR, так как они соответственные (для параллельных прямых KP и MR и секущей MB).
Значит, по первому признаку, данные треугольники подобны.
Следовательно:
BM/BK=BR/BP
(BK+KM)/BK=(BP+PR)/BP
1+KM/BK=1+PR/BP
KM/BK=PR/BP=9/10 (по условию задачи)
Проведем высоту KD, как показано на рисунке.
KD - является высотой для треугольников KBP и KCP.
SKBP=KD*BP*1/2
SKCP=KD*CP*1/2=KD*(PR+CR)*1/2=KD*(2PR)*1/2
Найдем отношение этих площадей:
SKBP/SKCP=(KD*BP*1/2)/(KD*(2PR)*1/2)
SKBP/SKCP=BP/(2PR)=(BP/PR)/2=(10/9)/2=5/9
SKBP=SKCP*5/9
SCKB=10*SABC/38=SKBP+SKCP=SKCP*5/9+SKCP=SKCP*5/9+SKCP*9/9=SKCP*14/9
10*SABC/38=SKCP*14/9
SKCP = SABC*(10/38)*(9/14) = SABC*90/(38*14)
SKPCM = SCKM+SKCP = SABC*9/38+SABC*90/(38*14) = SABC*126/(38*14)+SABC*90/(38*14) = SABC*216/(38*14) = SABC*216/(38*14) = SABC*108/(19*14) = SABC*54/(19*7) = SABC*54/133
SKPCM/SABC = (SABC*54/133)/SABC = 54/133
Ответ: 54/133

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'


Другие задачи из этого раздела



Задача №45DD3F

В треугольнике ABC угол C равен 133°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.



Задача №F18E5F

В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны CD. Известно, что KA=KB. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.



Задача №A0C43B

Окружности радиусов 3 и 33 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.



Задача №0511E1

На какой угол (в градусах) поворачивается минутная стрелка, пока часовая проходит 11°?



Задача №33624D

В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 75°. Найдите величину угла ODC.

Комментарии:


(2015-01-13 18:55:19) Администратор: Чуть выше отношения мы записали чему равны площади обоих треугольников и разделили одну площадь на другую. Получили, что отношение площадей равно BP/(2PR) или (BP/PR)/2. А еще раньше в решении мы выяснили, что KM/BK=PR/BP=9/10 => BP/PR=10/9 => (BP/PR)/2=(10/9)/2=5/9
(2015-01-13 18:55:19) Администратор: Чуть выше отношения мы записали чему равны площади обоих треугольников и разделили одну площадь на другую. Получили, что отношение площадей равно BP/(2PR) или (BP/PR)/2. А еще раньше в решении мы выяснили, что KM/BK=PR/BP=9/10 => BP/PR=10/9 => (BP/PR)/2=(10/9)/2=5/9
(2015-01-13 14:27:00) : как вы определили что треугольник BKP относится к треугольнику KCP как 5 к 9
(2015-01-13 14:24:55) : объясните как решается задача

Хочу получать новые решения

email рассылки Ни какого спама

email рассылки
X

Значение не введено

X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:


Рейтинг@Mail.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2021. Все права защищены. Яндекс.Метрика