Юмор

Автор: Катя
- Вовочка, у тебя в кармане сто рублей, ты попросил у отца еще сто, сколько у тебя будет д...читать далее

ОГЭ, 9-й класс. Математика: Геометрия


Задача №557 из 937. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 0B70B9


В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 208. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение задачи:

Вариант №1
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD - равнобедренный.
BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=208/2=104.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). SEDC=SEDB=(BE*OD)/2=(208*104)/2=104*104=10816
SABE=(BE*AO)/2=(208*104)/2=10816
Т.е. SABE=SEDC=SEDB=10816
Тогда, SABС=3*10816=32448
AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по второму свойству медианы).
SABD=(AD*BO)/2=SABC/2
(208*BO)/2=32448/2
BO=32448/208=156
Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора:
AB2=BO2+AO2
AB2=1562+1042
AB2=24336+10816=35152
AB=35152=16*2197=16*13*169=4*13*13=5213
BC=2AB=2*5213=10413
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=208-156=52
Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора:
AE2=AO2+OE2
AE2=1042+522=10816+2704=13520
AE=13520=4*4*5*169=2*2*13*5=525
Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
10413/5213=CE/(525)
2=CE/(525)
CE=1045
AC=AE+CE=525+1045=1565
Ответ: AB=5213, BC=10413, AC=1565


Вариант №2 (Предложил Всеволод).
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD и AO=OD=AD/2=208/2=104.
Проведём через точку C прямую, параллельную AD. Продлим BA и BE до пересечения с этой прямой в точках F и G соответственно.
AF=AB (по теореме Фалеса. AD и FC параллельны и разбивают BC на два отрезка 1:1, т.е. на равные отрезки, следовательно и BF они разобьют на равные отрезки).
Тогда получается, что:
AF=AB=BD=CD
Т.е. получается равнобедренный треугольник BCF со средней линией AD и медианами BG и CA, которые в точке пересечения E делятся в отношении 2:1 считая от вершин (по свойству медианы).
BE=208 (по условию задачи)
EG=BE/2=208/2=104
BG=BE+EG=208+104=312
BO=OG=BG/2=312/2=156
Рассмотрим треугольник ABO.
Он прямоугольный (по условию задачи), тогда по теореме Пифагора:
AB2=BO2+AO2
AB2=1562+1042
AB2=24336+10816
AB2=35152
AB=35152=2704*13=2704*13=5213
BC=2AB=2*5213=10413
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=OG-EG=156-104=52.
AOE тоже прямоугольный, следовательно по теореме Пифагора:
AE2=AO2+OE2
AE2=1042+522
AE2=10816+2704=13520
AE=13520=2704*5=525
EC=2AE=2*525=1045 (мы ранее выяснили, что медианы делятся в отношении 2:1 начиная от вершины)
AC=AE+EC=525+1045=1565
Ответ: AB=5213, BC=10413, AC=1565

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Комментарии:


(2017-03-30 22:54:26) Администратор: Артем, конечно, это опечатка, спасибо, что заметили. Исправлено.
(2017-03-28 23:06:43) Артём: Интересный треугольник рассматриваем в решении Всеволода, BOE)
(2017-03-15 23:51:16) Администратор: Евгений, я пишу по номерам для краткости. Эти номера можно найти, если нажать на ссылки в решении. На экзамене пишите так как от Вас требуют, а на сайте я публикую решения, чтобы учащиеся могли понять принцип, как решать подобные задачи. К примеру, иногда, тонкие моменты приходится особенно описывать, что на экзамене делать нет надобности.
(2017-03-15 16:18:58) Евгений: Исправьте пожалуйста свои задачи,не пишите по номеру признака или свойства т.к. на экзаменах надо писать подробно,а так путаница какая-то (в разных учебниках свойства и признаки под разными номерами)
(2017-02-07 19:39:58) Администратор: Данил, Мы не помогаем решить домашнее задание, цель сайта - подробно разобрать задачи, которые будут на экзаменах, чтобы учащиеся научились их решать самостоятельно. Если найдете похожую задачу на сайте fipi.ru, пишите, обязательно добавим.
(2017-02-07 19:13:39) Данил: AC и СВ-перпендикулярны прямой BD, точки A и C лежат по разные сторны прямой BD. докажите, что BC-паралельна AD, если AB=CD
(2015-10-28 20:56:44) Наталья: Спасибо, за Вашу работу, очень полезный сайт!!!!!
(2015-04-15 18:04:50) Администратор: Всеволод, я адаптировал и добавил Ваше решение.
(2015-03-16 01:30:56) Всеволод: Предлагаю чуть другое решение после того, как установили, что AB=BD. Проведём через точку C прямую, параллельную AD. Продлим BA и BE до пересечения с этой прямой в точках F и G соответственно. Получится равнобедренный треугольник BCF со средней линией AD и медианами BG и CA, которые в точке пересечения E делятся в отношении 2:1 считая от вершин. Раз BE=208, то EG=BE/2=104, вся BG=312, BO=OG=BG/2=156, OE=OG-EG=52. Далее так же: теорема Пифагора для треугольников ABO и AEO с известными катетами. Про CE=2EA уже упоминали (E -точка пересечения медиан), но это же следует и из свойств биссектрисы BE. (Спасибо за такой полезный сайт).

Хочу получать новые решения

email рассылки Ни какого спама

email рассылки
X

9-й класс, ОГЭ: Математика

11-й класс, ЕГЭ: Математика (базовый уровень)

X

Введите порядковый номер задачи для раздела 'ОГЭ, 9-й класс. Математика: Геометрия' (от 1 до 937)

X

Введите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X Медиана треугольника
- отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок.
Свойства медианы треугольника:
1) Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
2) Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
3) Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
4) Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
5) Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.
6) При аффинных преобразованиях медиана переходит в медиану.
7) Формула медианы через стороны (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):, где mc — медиана к стороне c; a, b, c — стороны треугольника. В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника в 4/3 раза меньше суммы квадратов его сторон:
8) Формула стороны через медианы: , где ma, mb, mc медианы к соответствующим сторонам треугольника, a, b, c — стороны треугольника.
X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:

Рейтинг@Mail.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2018. Все права защищены. Яндекс.Метрика