Новость

2015-03-01
Как показала практика, наш сайт не всегда эффективно используются.
Пользователи не мо...читать далее

Юмор

Автор: Unknown
Если у вас есть знакомый иностранец, который хвалится тем, что прекрасно понимает русский ...читать далее

ОГЭ, 9-й класс. Математика: Геометрия


Задача №716 из 868. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 3B4B4B


В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 136. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение задачи:

Вариант №1
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD - равнобедренный.
BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=136/2=68.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). SEDC=SEDB=(BE*OD)/2=(136*68)/2=68*68=4624
SABE=(BE*AO)/2=(136*68)/2=4624
Т.е. SABE=SEDC=SEDB=4624
Тогда, SABС=3*4624=13872
AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по второму свойству медианы).
SABD=(AD*BO)/2=SABC/2
(136*BO)/2=13872/2
BO=13872/136=102
Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора:
AB2=BO2+AO2
AB2=1022+682
AB2=10404+4624=15028
AB=15028=4*3757=4*13*289=2*17*13=3413
BC=2AB=2*3413=6813
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=136-102=34
Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора:
AE2=AO2+OE2
AE2=682+342=4624+1156=5780
AE=5780=4*5*289=2*17*5=345
Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
6813/3413=CE/(345)
2=CE/(345)
CE=685
AC=AE+CE=345+685=1025
Ответ: AB=3413, BC=6813, AC=1025


Вариант №2 (Предложил Всеволод).
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD и AO=OD=AD/2=136/2=68.
Проведём через точку C прямую, параллельную AD. Продлим BA и BE до пересечения с этой прямой в точках F и G соответственно.
AF=AB (по теореме Фалеса. AD и FC параллельны и разбивают BC на два отрезка 1:1, т.е. на равные отрезки, следовательно и BF они разобьют на равные отрезки).
Тогда получается, что:
AF=AB=BD=CD
Т.е. получается равнобедренный треугольник BCF со средней линией AD и медианами BG и CA, которые в точке пересечения E делятся в отношении 2:1 считая от вершин (по свойству медианы).
BE=136 (по условию задачи)
EG=BE/2=136/2=68
BG=BE+EG=136+68=204
BO=OG=BG/2=204/2=102
Рассмотрим треугольник ABO.
Он прямоугольный (по условию задачи), тогда по теореме Пифагора:
AB2=BO2+AO2
AB2=1022+682
AB2=10404+4624
AB2=15028
AB=15028=1156*13=1156*13=3413
BC=2AB=2*3413=6813
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=OG-EG=102-68=34.
AOE тоже прямоугольный, следовательно по теореме Пифагора:
AE2=AO2+OE2
AE2=682+342
AE2=4624+1156=5780
AE=5780=1156*5=345
EC=2AE=2*345=685 (мы ранее выяснили, что медианы делятся в отношении 2:1 начиная от вершины)
AC=AE+EC=345+685=1025
Ответ: AB=3413, BC=6813, AC=1025

Поделитесь решением в соц. сетях.

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'


Обратите внимание!!!

Вы можете посмотреть эту и другие задачи в более удобном интерфейсе, в котором выделено поле для дополнительных материалов, использованных для решения. Организован удобный поиск и переход между задачами. Запомните номер этой задачи и введите его в левом меню интерфейса.


Комментарии:



Хочу получать новые решения

email рассылки Ни какого спама

email рассылки

Подписывайтесь на наши группы в соц. сетях.

X

9-й класс, ОГЭ: Математика

11-й класс, ЕГЭ: Математика (базовый уровень)

X

Введите порядковый номер задачи для раздела 'ОГЭ, 9-й класс. Математика: Геометрия' (от 1 до 868)

X

Введите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X

Значение не введено

X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:

Рейтинг@Mail.ru Наш сайт в каталоге manyweb.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2017. Все права защищены. Яндекс.Метрика