Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 31 и 32, касаются сторон угла с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Проведем несколько отрезков:
EH - радиус малой окружности. Он перпендикулярен AB (по
свойству касательной).
FG - радиус большой окружности. Он перпендикулярен AB (по
свойству касательной).
HG - отрезок, соединяющий центры окружностей и равный R+r, так как он проходит через точку К.
Рассмотрим треугольники AFG и AEH:
∠EAH - общий;
углы AEH и AFG - прямые.
Следовательно эти треугольники
подобны, тогда:
FG/EH=AG/AH
FG/EH=(AH+HG)/AH
32/31=(AH+R+r)/AH
32AH=31(AH+63)
32AH-31AH=1953
AH=1953
sin∠EAH=EH/AH=31/1953=1/63
AK=AH+r=1953+31=1984
AK перпендикулярен BC, т.к. это продолжение большого и малого радиусов, а AB -
касательная (
свойство касательной). AK делит хорду AB пополам (по
свойству хорды).
Треугольник ABC -
равнобедренный, т.к. AK - и
медиана и
высота (
свойство равнобедренного треугольника).
Теперь уберем из рисунка все, что нас больше не интересует и резюмируем, что мы знаем:
AK=1984
sinα=1/63
Так как AK -
биссектриса, то центр описанной окружности находится на AK.
Найдем AB.
По
теореме Пифагора:
AB2=AK2+BK2
AB2=AK2+(AB*sinα)2
AB2-AB2*sin2α=
19842
AB2(1-1/632)=19842
AB2(632-1)=632*19842
AB2=632*19842/(632-1)
Рассмотрим треугольник AOB.
AO=OB, так как это радиусы окружности, следовательно данный треугольник
равнобедренный.
Проведем высоту ON, в
равнобедренном треугольнике она так же является и
медианой (по
свойству равнобедренного треугольника).
sinα=ON/AO => ON=AO/63
По теореме
Пифагора:
AO2=ON2+AN2
AO2=AO2/632+(AB/2)2
AO2-AO2/632=AB2/4
AO2(1-1/632)=AB2/4
AO2((632-1)/632)=(632*19842/(632-1))/4
4AO2=632*19842/(632-1)/((632-1)/632)=632*19842*632/(632-1)2
2AO=632*1984/(632-1)
2AO=3969*1984/3968=3969/2=1984,5
AO=992,25
Ответ: 992,25
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 10√3. Найдите длину стороны этого треугольника.
Окружности радиусов 44 и 77 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Основания трапеции равны 8 и 18. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Периметр квадрата равен 184. Найдите площадь квадрата.
Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 8. Окружность радиуса 5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Комментарии:
(2017-03-21 19:51:48) Администратор: Мария, конечно это опечатка, спасибо большое, что заметили. Исправлено.
(2017-03-19 18:42:33) Мария: АК не может быть перпендикулярен АВ!!! может быть ВС?