Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC относится к длине стороны AB как 9:7. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.
BM -
медиана треугольника АВС,
следовательно, она делит этот треугольник на два равных по площади треугольника (
свойство медианы).
SABM=SCMB=SABC/2
Рассмотрим треугольник ABM.
SABK+SAKM=SABM=SABC/2
AP -
биссектриса, по
теореме о биссектрисе можно записать
AM/AB=KM/BK.
По условию задачи AC/AB=9/7, следовательно, 2AM/AB=9/7 => AM/AB=9/14 => KM/BK=9/14
Т.к. площадь треугольника вычисляется по формуле S=1/2*h*a, где а-основание и h-высота, то можем записать:
SAKM=1/2*h*KM=1/2*h*((9/14)*BK)=9/14*(1/2*h*BK)=9/14*SABK (т.к. высота h для этих треугольников общая)
SABK+SAKM=SABM=SABC/2
SABK+9/14*SABK=SABC/2
23/14*SABK=SABC/2
SABK=14SABC/46
По тому же
свойству биссектрисы для треугольника ABC получаем, что AC/AB=CP/PB
AC/AB=9/7 (по условию задачи) => CP/PB=9/7 следовательно, CP=9*PB/7
SAPC=1/2*h*PC=1/2*h*(9*PB/7)=9/7*(1/2*h*PB)=9/7*SABP,
SABP+SAPC=SABC
SABP+9/7*SABP=SABC
16/7*SABP=SABC
SABP=7/16*SABC
Далее найдем площадь треугольника BPK:
SBPK=SABP-SABK
Ранее мы нашли, что SABK=14SABC/23
SBPK=7SABC/16-14SABC/46=322SABC/736-224SABC/736=98SABC/736=49SABC/368
Найдем площадь четырехугольника KPCM:
SKPCM=SCMB-SBKP
SKPCM=SABC/2-49SABC/368, (площадь CMB мы нашли ранее),
SKPCM=184SABC/368-49SABC/368=135SABC/368
Отношение площадей ABK к KPCM =(14SABC/46)/(135SABC/368)=(14*368)/(46*135)=(14*8)/135=112/135
Ответ: отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM=112/135.
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB=12, DC=48, AC=35.
Площадь прямоугольного треугольника равна 98√
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN=33, CM=15. Найдите ON.
Центральный угол AOB, равный 60°, опирается на хорду АВ длиной 3. Найдите радиус окружности.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2) В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
3) Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Комментарии:
(2022-07-14 17:00:49) Ульяна: Почему высота у треугольника ABK и треугольника AMK общая