Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=19 и CD=22 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Пусть R - радиус окружности.
Рассмотрим треугольник BCA.
Этот треугольник вписан в окружность, тогда по
теореме синусов:
AB/sin(∠BCA)=2R
AB=2Rsin(∠BCA)
Рассмотрим треугольник BCD.
Этот треугольник тоже вписан в окружность, тогда по
теореме синусов:
CD/sin(∠CBD)=2R
CD=2Rsin(∠CBD)
Рассмотрим треугольник BCK.
По
теореме о сумме углов треугольника:
∠CBD+∠BCA+∠CKB=180°
∠AKB - является смежным по отношению к ∠CKB, следовательно ∠CKB=180°-∠AKB. Подставляем в уравнение выше:
∠CBD+∠BCA+(180°-∠AKB)=180°
∠CBD+∠BCA+(180°-60°)=180°
∠CBD+∠BCA=60°
Для простоты обозначим ∠CBD=а и ∠BCA=b, т.е. a+b=60°
a=60°-b
19=AB=2Rsin(a)
22=CD=2Rsin(60°-a)=2R(sin60°cos(a)-cos60°sin(a))=2R((√
Разделим второе уравнение на первое:
19/22=R(√
19/22=(√
19*2sin(a)=22*(√
38sin(a)=22√
60sin(a)=22√
Возведем правую и левую части в квадрат:
3600sin2(a)=484*3cos2(a)
3600sin2(a)=1452(1-sin2(a)) (применена
основная тригонометрическая формула)
3600sin2(a)=1452-1452sin2(a))
5052sin2(a)=1452
sin2(a)=1452/5052
sin2(a)=484/1684
sin2(a)=121/421
sin(a)=√
sin(a)=11/√
22=2R*11/(√
1=R/(√
R=√
Ответ: R=√
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Укажите номера верных утверждений.
1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию.
2) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
3) Из двух хорд окружности больше та, середина которой находится дальше от центра окружности.
В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOD.
Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=1 и HD=63. Диагональ параллелограмма BD равна 65. Найдите площадь параллелограмма.
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 39 и 2.
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:7:8. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 20.
Комментарии: