Решение задачи:

BM - медиана треугольника АВС, следовательно, она делит этот треугольник на два равных по площади треугольника ( свойство медианы).
S_ABM=S_CMB=S_ABC/2
Рассмотрим треугольник ABM и проведем высоту из вершины А.
Высота h так же является высотой для треугольников ABK и AKM.
Значит их площади:
S_ABK=h*BK*1/2
S_AKM=h*KM*1/2
Найдем отношение этих площадей:
S_ABK/S_AKM=(h*BK*1/2)/(h*KM*1/2)
S_ABK/S_AKM=BK/KM=4
Т.е. S_AKM=S_ABK/4
S_ABK+S_AKM=S_ABM=S_ABC/2
S_ABK+S_ABK/4=S_ABC/2
S_ABK*5/4=S_ABC/2
S_ABK=(S_ABC/2)*4/5
S_ABK=2*S_ABC/5
S_AKM=S_ABK/4=(2*S_ABC/5)/4=S_ABC/10
Проведем отрезок CK и рассмотрим треугольники AKM и CKM.
Проведем высоту KF. Эта высота является общей для обоих этих треугольников. Площади этих треугольников:
S_AKM=KF*AM*1/2
S_CKM=KF*CM*1/2
KF=CM (так как BM- медиана), следовательно S_AKM=S_CKM=S_ABC/10
Тогда S_CKB=S_CMB-S_CKM=S_ABC/2-S_ABC/10=5*S_ABC/10-S_ABC/10=4*S_ABC/10=2*S_ABC/5
Вернемся к первоначальному рисунку и проведем отрезок MR, параллельный AP.
Для треугольника APC MR - средняя линия, так как проходит через середину AC и параллельна AP.
Следовательно, по теореме о средней линии, PR=RC.
Рассмотрим треугольники MBR и KBP.
∠MBR - общий для обоих треугольников.
∠BKP=∠BMR, так как они соответственные (для параллельных прямых KP и MR и секущей MB).
Значит, по первому признаку, данные треугольники подобны.
Следовательно:
BM/BK=BR/BP
(BK+KM)/BK=(BP+PR)/BP
1+KM/BK=1+PR/BP
KM/BK=PR/BP=1/4 (по условию задачи)
Проведем высоту KD, как показано на рисунке.
KD - является высотой для треугольников KBP и KCP.
S_KBP=KD*BP*1/2
S_KCP=KD*CP*1/2=KD*(PR+CR)*1/2=KD*(2PR)*1/2
Найдем отношение этих площадей:
S_KBP/S_KCP=(KD*BP*1/2)/(KD*(2PR)*1/2)
S_KBP/S_KCP=BP/(2PR)=(BP/PR)/2=(4/1)/2=2
S_KBP=2*S_KCP
S_CKB=2*S_ABC/5=S_KBP+S_KCP=2*S_KCP+S_KCP=3*S_KCP
2*S_ABC/5=3*S_KCP
S_KCP=2*S_ABC/15
S_KPCM = S_CKM+S_KCP = S_ABC/10+S_ABC*2/15 = S_ABC*3/30+S_ABC*4/30 = S_ABC*7/30
S_ABK/S_KPCM=(S_ABC*2/5)/(S_ABC*7/30)
S_ABK/S_KPCM=(2/5)/(7/30)=(2/5)*(30/7)=(2*30)/(5*7)=(2*6)/7=12/7
Ответ: 12/7