Решение задачи:

Вариант №1 (Прислал пользователь Евгений)
Проведем отрезок AB.
Найдем каждую сторону треугольника ABO по теореме Пифагора:
AO²=10²+8²
AO²=100+64=164
AO=√164
AB²=9²+1²
AB²=81+1=82
AB=√82
BO²=9²+1²
BO²=81+1=82
BO=√82
По теореме косинусов:
AB²=AO²+BO²-2AO*BO*cos∠AOB
(√82 )²=(√164 )²+(√82)²-2*√164*√82*cos∠AOB
82=164+82-2√164*82*cos∠AOB
-164=-2√13448*cos∠AOB
82=√4*3362*cos∠AOB
82=2√41*82*cos∠AOB
41=√41*82*cos∠AOB
cos∠AOB=41/√41*82=(√41)²/√41*82=√41/√82=√41/√41*2= 1/√2
По основной тригонометрической формуле:
sin²∠AOB+cos²∠AOB=1
sin²∠AOB+(1/√2)²=1
sin²∠AOB+1/2=1
sin²∠AOB=1/2
sin∠AOB=1/√2
tg∠AOB=sin∠AOB/cos∠AOB=(1/√2)/(1/√2)=1
Ответ: tg∠AOB=1

---

Вариант №2 Достроим чертеж до двух прямоугольных треугольников. Найдем тангенсы для обоих треугольников для их углов О.
1) Для синего треугольника: tgα=9/1=9
2) Для красного треугольника: tgβ=8/10=0,8
Есть тригонометрическая формула:
tg(α-β)=(tgα-tgβ)/(1+tgα*tgβ)
Вычисляем:
tg∠AOB=tg(α-β)=(9-0,8)/(1+9*0,8)=8,2/8,2=1
Ответ: tg∠AOB=1