В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 208. Найдите стороны треугольника ABC.
Вариант №1
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE -
биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по
второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD -
равнобедренный.
BO -
биссектриса этого треугольника, следовательно и
медиана, и
высота (по третьему
свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=208/2=104.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED -
медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму
свойству медианы). SEDC=SEDB=(BE*OD)/2=(208*104)/2=104*104=10816
SABE=(BE*AO)/2=(208*104)/2=10816
Т.е. SABE=SEDC=SEDB=10816
Тогда, SABС=3*10816=32448
AD -
медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по
второму свойству медианы).
SABD=(AD*BO)/2=SABC/2
(208*BO)/2=32448/2
BO=32448/208=156
Рассмотрим треугольник ABO, он
прямоугольный, тогда применим
теорему Пифагора:
AB2=BO2+AO2
AB2=1562+1042
AB2=24336+10816=35152
AB=√
BC=2AB=2*52√
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=208-156=52
Так как этот треугольник тоже
прямоугольный, то можно применить
теорему Пифагора:
AE2=AO2+OE2
AE2=1042+522=10816+2704=13520
AE=√
Так как BE -
биссектриса, то используя ее
первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
104√
2=CE/(52√
CE=104√
AC=AE+CE=52√
Ответ: AB=52√
Проведём через точку C прямую, параллельную AD. Продлим BA и BE до пересечения с этой прямой в точках F и G соответственно.Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
В треугольнике ABC угол C прямой, BC=6, cosB=0,3. Найдите AB.
В треугольнике АВС углы А и С равны 30° и 50° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны CD. Известно, что EA=EB. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
Какие из следующих утверждений верны?
1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2) Диагонали ромба равны.
3) Тангенс любого острого угла меньше единицы.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2017-03-30 22:54:26) Администратор: Артем, конечно, это опечатка, спасибо, что заметили. Исправлено.
(2017-03-28 23:06:43) Артём: Интересный треугольник рассматриваем в решении Всеволода, BOE)
(2017-03-15 23:51:16) Администратор: Евгений, я пишу по номерам для краткости. Эти номера можно найти, если нажать на ссылки в решении. На экзамене пишите так как от Вас требуют, а на сайте я публикую решения, чтобы учащиеся могли понять принцип, как решать подобные задачи. К примеру, иногда, тонкие моменты приходится особенно описывать, что на экзамене делать нет надобности.
(2017-03-15 16:18:58) Евгений: Исправьте пожалуйста свои задачи,не пишите по номеру признака или свойства т.к. на экзаменах надо писать подробно,а так путаница какая-то (в разных учебниках свойства и признаки под разными номерами)
(2017-02-07 19:39:58) Администратор: Данил, Мы не помогаем решить домашнее задание, цель сайта - подробно разобрать задачи, которые будут на экзаменах, чтобы учащиеся научились их решать самостоятельно. Если найдете похожую задачу на сайте fipi.ru, пишите, обязательно добавим.
(2017-02-07 19:13:39) Данил: AC и СВ-перпендикулярны прямой BD, точки A и C лежат по разные сторны прямой BD. докажите, что BC-паралельна AD, если AB=CD
(2015-10-28 20:56:44) Наталья: Спасибо, за Вашу работу, очень полезный сайт!!!!!
(2015-04-15 18:04:50) Администратор: Всеволод, я адаптировал и добавил Ваше решение.
(2015-03-16 01:30:56) Всеволод: Предлагаю чуть другое решение после того, как установили, что AB=BD. Проведём через точку C прямую, параллельную AD. Продлим BA и BE до пересечения с этой прямой в точках F и G соответственно. Получится равнобедренный треугольник BCF со средней линией AD и медианами BG и CA, которые в точке пересечения E делятся в отношении 2:1 считая от вершин. Раз BE=208, то EG=BE/2=104, вся BG=312, BO=OG=BG/2=156, OE=OG-EG=52. Далее так же: теорема Пифагора для треугольников ABO и AEO с известными катетами. Про CE=2EA уже упоминали (E -точка пересечения медиан), но это же следует и из свойств биссектрисы BE. (Спасибо за такой полезный сайт).