Новость

2015-03-01
Как показала практика, наш сайт не всегда эффективно используются.
Пользователи не мо...читать далее

Юмор

Автор: неизвестен
Сержант выстроил свое отделение, и говорит:
- У меня две новости - мы бежим марш-брос...читать далее

Задача №557 из 832. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 0B70B9

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 208. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение задачи:

Вариант №1
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD - равнобедренный.
BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=208/2=104.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). SEDC=SEDB=(BE*OD)/2=(208*104)/2=104*104=10816
SABE=(BE*AO)/2=(208*104)/2=10816
Т.е. SABE=SEDC=SEDB=10816
Тогда, SABС=3*10816=32448
AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по второму свойству медианы).
SABD=(AD*BO)/2=SABC/2
(208*BO)/2=32448/2
BO=32448/208=156
Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора:
AB2=BO2+AO2
AB2=1562+1042
AB2=24336+10816=35152
AB=35152=16*2197=16*13*169=4*13*13=5213
BC=2AB=2*5213=10413
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=208-156=52
Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора:
AE2=AO2+OE2
AE2=1042+522=10816+2704=13520
AE=13520=4*4*5*169=2*2*13*5=525
Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
10413/5213=CE/(525)
2=CE/(525)
CE=1045
AC=AE+CE=525+1045=1565
Ответ: AB=5213, BC=10413, AC=1565


Вариант №2 (Предложил Всеволод).
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD и AO=OD=AD/2=208/2=104.
Проведём через точку C прямую, параллельную AD. Продлим BA и BE до пересечения с этой прямой в точках F и G соответственно.
AF=AB (по теореме Фалеса. AD и FC параллельны и разбивают BC на два отрезка 1:1, т.е. на равные отрезки, следовательно и BF они разобьют на равные отрезки).
Тогда получается, что:
AF=AB=BD=CD
Т.е. получается равнобедренный треугольник BCF со средней линией AD и медианами BG и CA, которые в точке пересечения E делятся в отношении 2:1 считая от вершин (по свойству медианы).
BE=208 (по условию задачи)
EG=BE/2=208/2=104
BG=BE+EG=208+104=312
BO=OG=BG/2=312/2=156
Рассмотрим треугольник ABO.
Он прямоугольный (по условию задачи), тогда по теореме Пифагора:
AB2=BO2+AO2
AB2=1562+1042
AB2=24336+10816
AB2=35152
AB=35152=2704*13=2704*13=5213
BC=2AB=2*5213=10413
Рассмотрим треугольник BOE.
OE=OG-EG=156-104=52.
BOE тоже прямоугольный, следовательно по теореме Пифагора:
AE2=AO2+OE2
AE2=1042+522
AE2=10816+2704=13520
AE=13520=2704*5=525
EC=2AE=2*525=1045 (мы ранее выяснили, что медианы делятся в отношении 2:1 начиная от вершины)
AC=AE+EC=525+1045=1565
Ответ: AB=5213, BC=10413, AC=1565

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'


Обратите внимание!!!

Вы можете посмотреть эту и другие задачи в более удобном интерфейсе, в котором выделено поле для дополнительных материалов, использованных для решения. Организован удобный поиск и переход между задачами. Запомните номер этой задачи и введите его в левом меню интерфейса.


Комментарии:


(2015-03-16 01:30:56) Всеволод: Предлагаю чуть другое решение после того, как установили, что AB=BD. Проведём через точку C прямую, параллельную AD. Продлим BA и BE до пересечения с этой прямой в точках F и G соответственно. Получится равнобедренный треугольник BCF со средней линией AD и медианами BG и CA, которые в точке пересечения E делятся в отношении 2:1 считая от вершин. Раз BE=208, то EG=BE/2=104, вся BG=312, BO=OG=BG/2=156, OE=OG-EG=52. Далее так же: теорема Пифагора для треугольников ABO и AEO с известными катетами. Про CE=2EA уже упоминали (E -точка пересечения медиан), но это же следует и из свойств биссектрисы BE. (Спасибо за такой полезный сайт).
(2015-04-15 18:04:50) Администратор: Всеволод, я адаптировал и добавил Ваше решение.
(2015-10-28 20:56:44) Наталья: Спасибо, за Вашу работу, очень полезный сайт!!!!!

Хочу получать новые решения

email рассылки Ни какого спама

email рассылки
X
X

Введите порядковый номер задачи для раздела 'Геометрия' (от 1 до 832)

X

Введите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X
Warning: mysql_fetch_row(): supplied argument is not a valid MySQL result resource in /home/users2/g/glybin/domains/otvet-gotov.ru/pages/zadacha.php on line 561
X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:

Рейтинг@Mail.ru Наш сайт в каталоге manyweb.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2016. Все права защищены. Яндекс.Метрика