Новость

2015-03-01
Как показала практика, наш сайт не всегда эффективно используются.
Пользователи не мо...читать далее

Юмор

Автор: неизвестен
Сержант выстроил свое отделение, и говорит:
- У меня две новости - мы бежим марш-брос...читать далее

Задача №501 из 832. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - BF030F

Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 45 и 46, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Решение задачи:

Проведем несколько отрезков:
EH - радиус малой окружности. Он перпендикулярен AB (по свойству касательной).
FG - радиус большой окружности. Он перпендикулярен AB (по свойству касательной).
HG - отрезок, соединяющий центры окружностей и равный R+r, так как он проходит через точку К.
Рассмотрим треугольники AFG и AEH:
∠EAH - общий;
углы AEH и AFG - прямые.
Следовательно эти треугольники подобны, тогда:
FG/EH=AG/AH
FG/EH=(AH+HG)/AH
46/45=(AH+R+r)/AH
46AH=45(AH+91)
46AH-45AH=4095
AH=4095
sin∠EAH=EH/AH=45/4095=1/91
AK=AH+r=4095+45=4140
AK перпендикулярен AB, т.к. это продолжение большого и малого радиусов, а AB - касательная ( свойство касательной) и делит хорду AB пополам (по свойству хорды).
Треугольник ABC - равнобедренный, т.к. AK - и медиана и высота ( свойство равнобедренного треугольника).
Теперь уберем из рисунка все, что нас больше не интересует и резюмируем, что мы знаем:
AK=4140
sinα=1/91
Так как AK - биссектриса, то центр описанной окружности находится на AK.
Найдем AB.
По теореме Пифагора:
AB2=AK2+BK2
AB2=AK2+(AB*sinα)2
AB2-AB2*sin2α= 41402
AB2(1-1/912)=41402
AB2(912-1)=912*41402
AB2=912*41402/(912-1)
Рассмотрим треугольник AOB.
AO=OB, так как это радиусы окружности, следовательно данный треугольник равнобедренный.
Проведем высоту ON, в равнобедренном треугольнике она так же является и медианой (по свойству равнобедренного треугольника).
sinα=ON/AO=1/91 => ON=AO/91
По теореме Пифагора:
AO2=ON2+AN2
AO2=AO2/912+(AB/2)2
AO2((912-1)/912)=912*41402/(912-1)
AO2=912*41402/(912-1)/((912-1)/912)=912*41402*912/(912-1)2
AO=912*4140/(912-1)
AO=8281*4140/8280=8281/2=4140,5
Ответ: Радиус описанной окружности равен 4140,5.

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'


Обратите внимание!!!

Вы можете посмотреть эту и другие задачи в более удобном интерфейсе, в котором выделено поле для дополнительных материалов, использованных для решения. Организован удобный поиск и переход между задачами. Запомните номер этой задачи и введите его в левом меню интерфейса.


Комментарии:


(2014-05-29 15:26:21) Танюшка: Большое спасибо! Очень мудреная задача!

Хочу получать новые решения

email рассылки Ни какого спама

email рассылки
X
X

Введите порядковый номер задачи для раздела 'Геометрия' (от 1 до 832)

X

Введите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X
Warning: mysql_fetch_row(): supplied argument is not a valid MySQL result resource in /home/users2/g/glybin/domains/otvet-gotov.ru/pages/zadacha.php on line 539
X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:

Рейтинг@Mail.ru Наш сайт в каталоге manyweb.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2016. Все права защищены. Яндекс.Метрика