Новость

2015-03-01
Как показала практика, наш сайт не всегда эффективно используются.
Пользователи не мо...читать далее

Юмор

Автор: неизвестен
Сержант выстроил свое отделение, и говорит:
- У меня две новости - мы бежим марш-брос...читать далее

Задача №40 из 832. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 1380DA

Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.

Решение задачи:

Вариант №1 (Предложил пользователь Елена)
Проведем отрезок MP, как показано на рисунке. BM - диаметр малой окружности (по условию задачи), следовательно треугольник BMP - прямоугольный с гипотенузой BM (по свойству описанной окружности).
К тому же, по условию задачи, точка Р - середина стороны BC, т.е. BM - серединный перпендикуляр к стороне BC.
Проведем серединный перпендикуляр к стороне AC, как показано на рисунке.
Центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров треугольника, а в данном случае - это точка М, т.е. точка М и есть центр описанной окружности.
Так как получилось, что центр окружности лежит на стороне описываемого треугольника, то AM и MC - радиусы данной окружности и равны R=AC/2=4/2=2.
Ответ: 2


Вариант №2
Рассмотрим рисунок. Проведем отрезок MP, как показано на рисунке. BM - диаметр малой окружности (по условию задачи), следовательно треугольник BMP - прямоугольный с гипотенузой BM (по свойству описанной окружности).
Рассмотрим треугольники BMP и CPM:
MP - общая сторона
BP=PC (по условию задачи)
/BPM=/CPM, т.к. /BPM - прямой, а /CPM - ему смежный.
Следовательно треугольники BMP и CPM равны (по первому признаку). Отсюда следует, что BM=MC=MA.
Рассмотрим треугольник BMC. Т.к. MB=MC, то этот треугольник равнобедренный, следовательно /MCP=/PBM (по свойству равнобедренных треугольников).
В треугольнике ABM аналогичная ситуация, /BAM=/ABM. Т.е. получается, что /BAM+/MCP=/ABC. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, 180°=/BAM+/MCP+/ABC
180°=/ABC+/ABC
180°=2*/ABC
90°=/ABC
Из чего следует, что треугольник ABC - прямоугольный. По свойству описанной окружности следует, что точка М - центр окружности => R=AC/2=4/2=2. Ответ: R=2.

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'


Обратите внимание!!!

Вы можете посмотреть эту и другие задачи в более удобном интерфейсе, в котором выделено поле для дополнительных материалов, использованных для решения. Организован удобный поиск и переход между задачами. Запомните номер этой задачи и введите его в левом меню интерфейса.


Комментарии:


(2014-05-27 14:17:27) Ольга: После того как доказали, что треугольник СРМ - прямоугольный, надо написать что он подобен треугольнику АВС, по углу С - общий угол, и двум сторонам ( Р - середина ВС, М -середина АС), следовательно угол В - прямой
(2014-05-27 19:26:00) Ольга: Извините, ошиблась, вместо CPM - BPM
(2014-05-27 19:30:34) Ольга: Нет, всё-таки CPM
(2014-05-27 19:34:31) Администратор: Ольга, я понял Вашу мысль, но боюсь, что пользователям будет трудно понять это подобие, Вы так не думаете? А Вы случайно не учитель математики?
(2014-05-28 09:45:50) Ольга: Насчет подобия мне кажется понять не трудно. Насчет учителя математики - нет, я - мама ученика, который собирается сдавать ГИА по математике. Так что приходится участвовать в процессе и вспоминать подзабытое
(2014-05-28 10:29:20) Администратор: Ольга, к сожалению, в 9-ом классе далеко не все ученики могут думать даже на два шага вперед (я сужу по вопросам, какие они задают), поэтому доказывать подобие нужно только через признаки подобия. Ваше доказательство идет через определение подобия, причем двух-ходовое. Поэтому думаю, что большинству пользователей будет непонятно. Успехов Вашему ребенку на экзаменах!!!
(2014-05-28 11:27:59) Ольга: Так вроде это признак: равенство угла и пропорциональность сторон, к нему прилежащих (относятся как 1 к 2, т.к. М и Р середины). Впрочем я не настаиваю
(2014-05-28 13:47:33) Администратор: Ольга, да действительно, у меня уже "глаз замылился"...
(2015-04-10 02:43:36) Елена: Центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Доказали, что РМ серединный перпендикуляр к стороне ВС. Точка пересечения РМ и серединного перпендикуляра к стороне АС лежит на прямой, проходящей через точку М. А это и есть точка М. М - центр окружности, описанной около треугольника АВС, значит радиус равен 2.
(2015-05-03 22:53:26) Администратор: Елена, я добавил Ваш вариант решения на сайт. Спасибо за интересный подход.
(2015-05-08 21:55:32) Елена: Спасибо
(2015-05-28 14:13:14) Анна: спасибо
(2016-02-11 18:55:41) Виктория: Правильное ли рассуждение у меня? Из т.М опустим перпендикуляр к т.Р. Отрезок МР делит ВС пополаам и перпендикулярен ему. Рассмотрим треугольники ВМР и МРС. Т.к. МР - общая сторона, углы ВРМ и МРС - прямые (равны), и по условию ВР=РС, след-но треугольники ВМР и МРС равны.Поэтому ВМ =МС. Т.к. окружность с центром в т.М явл-ся описанной вокруг треугольника АВС,тт.АВС лежат на окружности и равноудалены от т.М, то АМ=МС=ВМ=R=2
(2016-02-14 18:05:00) Администратор: Виктория, почти все правильно, кроме последнего предложения. В условии не сказано, в первом решении мы это выяснили исходя из серединных перпендикуляров, а во втором решении мы выяснили, что треугольник ABC прямоугольный, а (по свойству описанной окружности) центр описанной вокруг прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, т.е. в точке М. Вот поэтому АМ=МС=ВМ=R=2.

Хочу получать новые решения

email рассылки Ни какого спама

email рассылки
X
X

Введите порядковый номер задачи для раздела 'Геометрия' (от 1 до 832)

X

Введите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X
Warning: mysql_fetch_row(): supplied argument is not a valid MySQL result resource in /home/users2/g/glybin/domains/otvet-gotov.ru/pages/zadacha.php on line 561
X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:

Рейтинг@Mail.ru Наш сайт в каталоге manyweb.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2016. Все права защищены. Яндекс.Метрика