Задача №610 из 832. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - F96D2F

Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 60, тангенс угла BAC равен 5/12. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.


Решение задачи:

Вариант №1
Рассмотрим треугольники ABC и BCP.
∠ABC - общий.
∠ACB=∠BPC=90° (т.к. CP - высота).
По первому признаку подобия треугольников, данные треугольники подобны.
Следовательно, BC/AC=BP/BC=BC/AB=k.
k - коэффициент подобия.
Заметим, что BC/AB - это sinA (по определению), найдем его:
tgA=(sinA)/(cosA)=5/12
cosA=(12sinA)/5=2,4sinA
По основной тригонометрической формуле:
sin2A+cos2A=1
sin2A+(2,4sinA)2=1
sin2A+5,76sin2A=1
6,76sin2A=1
sin2A=1/6,76
sinA=1/2,6=k
Дальше тонкий момент:
По свойству подобных треугольников отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. Радиус вписанной окружности имеет линейную зависимость от периметра треугольника ( третье свойство), следовательно отношение радиусов подобных треугольников тоже подчиняется коэффициенту подобия.
Т.е. r/R=k
R=r/k=60/(1/2,6)=60*2,6=156.
Ответ: R=156


Вариант №2
Радиус вписанной окружности можно вычислить по формуле R=(AC+CB-AB)/2. Для этого необходимо вычислить длины всех сторон данного треугольника.
Рассмотрим треугольник ABC.
По определению tgBAC=CB/AC=5/12 => AC=12*CB/5.
По теореме Пифагора AB2=AC2+CB2
AB2=(12*CB/5)2+CB2
AB2=144*CB2/25+CB2
AB2=169*CB2/25
AB=13*CB/5
Необходимо вычислить CB.
По теореме о сумме углов треугольника для треугольника ABC:
/ABC=180°-90°-/BAC
Для треугольника BCP:
/ABC=180°-90°-/BCP
Следовательно, /BAC=/BCP.
Рассмотрим треугольник BCP.
По определению tgBCP=BP/CP=5/12 => CP=12*BP/5.
По теореме Пифагора CB2=CP2+BP2
CB2=(12*BP/5)2+BP2
CB2=144*BP2/25+BP2
CB2=169*BP2/25
CB=13*BP/5
BP=5*CB/13
r=(BP+CP-CB)/2
2*r=BP+12*BP/5-CB
2*60=17*BP/5-CB
120=17*(5*CB/13)/5-CB
120=(17*5)*CB/(13*5)-CB
120=17*CB/13-CB
120=4*CB/13 |:4
30=CB/13
CB=30*13=390
Вычислив CB, мы можем вычислить AB и AC, указанные выше:
AB=13*CB/5=13*390/5=1014
AC=12*CB/5=12*390/5=936
R=(AC+CB-AB)/2, тогда получаем:
R=(936+390-1014)/2
R=156
Ответ: R=156.


Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Комментарии:


(2015-03-07 16:55:58) Всеволод: Треугольники CBP и ABC подобны с коэффициентом подобия k=BC/AB, а это ведь sinA. Используя основное тригонометрическое тождество и определение tgA, можно найти sinA из системы: (sinA)^2+(cosA)^2=1 sinA/cosA=5/12=tgA Получается, что sinA=5/13 Отношение радиусов вписанных окружностей у подобных треугольников тоже равно коэффициенту подобия. Ведь по определению подобия все линейные размеры фигуры увеличиваются в k раз (стороны, медианы, высоты, биссектрисы, диагонали и радиусы вписанной и описанной окружностей). Итак, соотношение радиусов у нас равно r/R=5/13,откуда R=156.
(2015-03-09 16:23:33) Администратор: Всеволод, Ваше решение в целом правильное, кроме одного НО. Вы ссылаетесь на свой "жизненный опыт", а не на теоремы или определения "Отношение радиусов вписанных окружностей у подобных треугольников тоже равно коэффициенту подобия". Это нужно доказать математически, а не голословно, даже, если это очевидно. "Ведь по определению подобия все линейные размеры фигуры увеличиваются в k раз (стороны, медианы, высоты, биссектрисы, диагонали и радиусы вписанной и описанной окружностей)" - в определении подобия ничего похожего нет. ОПР.: Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника. Все остальное надо доказывать в решении...Если я не прав, то пришлите, пожалуйста, ссылку на материалы, где подтверждаются Ваши слова.
(2015-03-18 13:26:43) Всеволод: В учебнике А.В.Погорелова на стр. 154 есть определение подобия как преобразования, а потом несколько страниц достаточно подробно говорится о его свойствах и приводятся хорошие примеры. В учебнике под редакцией А.Н.Тихонова на стр. 138 о подобии сказано лишь: "В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными". Другие учебники не смотрел, но допускаю, что они могут существенно различаться. В Кодификаторе элементов ФИПИ есть пункт 7.1.6 "Преобразование плоскости. Движения. Симметрия." Да, сказано мало, но это про преобразование подобия. Мне кажется, что отношение соответствующих радиусов и высот у подобных треугольников доказывать не надо потому, что это является одним из основных свойств преобразования подобия. Согласен с тем, что на учебники, которые рассматривают сразу лишь признаки подобия треугольников без упоминания о преобразовании подобия так опереться не получится. Если считать, что определение подобия как преобразования в программе и учебниках отсутствует, то вы правы, нужно гонять известные формулы. Рассмотрим площадь треугольника S=(b*c*sinA)/2 (еще подойдёт формула Герона, но с проверкой всех учебников). Из неё выходит, что площади подобных треугольников относятся как квадрат их коэффициента подобия и об этом говорится везде. Тогда соответствующие радиусы и высоты тоже подобны с тем же коэффициентом, потому что везде есть формулы для площади S=a*b*c/4R, S=p*r и S=a*h/2. Вы использовали в решении формулу r=(a+b-c)/2, упоминание о которой не так просто будет найти в некоторых учебниках. Вообще, всегда можно попросить доказать все применённые в решении формулы и утверждения. Но тогда начинать придётся с "Начал" планиметрии или защищаться фразой "из программы", а это уже субстанция дискуссионная. Если же считать, что понятие преобразования подобия в программе всё же есть, то ссылка в решении на его свойства выглядит мощнее и легче, чем применение известных формул.
(2015-03-18 20:14:32) Администратор: Всеволод, большое Вам спасибо за такую упорную борьбу за истину. Дискутировать с таким оппонентом - одно удовольствие. В чем я с Вами согласен, так это в том, что использованная мной формула мало известна и, действительно, требует доказательства. Т.е. использовать ее как есть не очень корректно в данном случае. Но именно по этой же причине, некорректно утверждать, что R/r=k, это надо показать. Мы с Вами понимаем, что высоты, медианы и т.д. "подчиняются" коэффициенту подобия, площади подобных треугольников уже "не подчиняются". Для обычного школьника эти тонкости не очевидны. Вы меня убедили, что надо написать более корректное решение. Я этим займусь немного позже, сейчас очень много запросов на новые задачи. Еще раз спасибо Вам!
(2015-03-18 20:20:21) Администратор: Всеволод, напишите, мне пожалуйста, на zapros@otvet-gotov.ru, давайте дискутировать по почте, чтобы не "взрывать мозг" другим пользователям )
(2015-04-12 16:52:31) : AB2=144*CB2/25+CB2 AB2=169*CB2/25 почему исчезло CB?
(2015-04-12 17:00:19) Администратор: AB2=144*CB2/25+CB2=144*CB2/25+25CB2/25=(144CB2+25CB2)/25=169CB2/25
X
X
X

Введите порядковый номер задачи для раздела 'Геометрия' (от 1 до 832)

X

Введите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X
Warning: mysql_fetch_row(): supplied argument is not a valid MySQL result resource in /home/users2/g/glybin/domains/otvet-gotov.ru/pages/m.zadacha.php on line 416
X

Введите ключевую фразу или слова для поиска задачи в разделе Геометрия


Искать во всех разделах
X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:

Copyright www.otvet-gotov.ru 2014-2016. Bсе права защищены.
–ейтинг@Mail.ru