ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


«адача є565 из 862. Ќомер задачи на WWW.FIPI.RU - 361445


„етырЄхугольник ABCD со сторонами AB=25 и CD=16 вписан в окружность. ƒиагонали AC и BD пересекаютс€ в точке K, причЄм ∠ AKB=60∞. Ќайдите радиус окружности, описанной около этого четырЄхугольника.


–ешение задачи:

ѕусть R - радиус окружности.
–ассмотрим треугольник BCA.
Ётот треугольник вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
AB/sin(∠BCA)=2R
AB=2Rsin(∠BCA)
–ассмотрим треугольник BCD.
Ётот треугольник тоже вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
CD/sin(∠CBD)=2R
CD=2Rsin(∠CBD)
–ассмотрим треугольник BCK.
ѕо теореме о сумме углов треугольника:
∠CBD+∠BCA+∠CKB=180∞
∠AKB - €вл€етс€ смежным по отношению к ∠CKB, следовательно ∠CKB=180∞-∠AKB. ѕодставл€ем в уравнение выше:
∠CBD+∠BCA+(180∞-∠AKB)=180∞
∠CBD+∠BCA+(180∞-60∞)=180∞
∠CBD+∠BCA=60∞
ƒл€ простоты обозначим ∠BCA=а и ∠CBD=b, т.е. a+b=60∞
a=60∞-b
25=AB=2Rsin(a)
16=CD=2Rsin(60∞-a)=2R(sin60∞cos(a)-cos60∞sin(a))=2R((3/2)*cos(a)-(1/2)*sin(a))=R(3cos(a)-sin(a)) (применена тригонометрическа€ формула)
–азделим второе уравнение на первое:
16/25=R(3cos(a)-sin(a))/(2Rsin(a))
16/25=(3cos(a)-sin(a))/(2sin(a))
16*2sin(a)=25*(3cos(a)-sin(a))
32sin(a)=253cos(a)-25sin(a)
57sin(a)=253cos(a)
¬озведем правую и левую части в квадрат:
3249sin2(a)=625*3cos2(a)
3249sin2(a)=1875(1-sin2(a)) (применена основна€ тригонометрическа€ формула)
3249sin2(a)=1875-1875sin2(a))
5124sin2(a)=1875
sin2(a)=1875/5124
sin2(a)=625/1708
sin(a)=625/1708
sin(a)=25/1708
sin(a)=25/(2427)
25=2R*25/(2427)
1=R/(427)
R=427
ќтвет: R=427


¬ы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложени€ на странице 'ѕро нас'

 омментарии:


(2016-10-16 23:38:20) √еоргий : AB/sin(/BCA)=2R => AB=2Rsin(/BCA). ѕотом написано: /BCA=b /CBD=a и далее: AB=2Rsin(a). –азве не должно быть так: AB=2Rsin(b) и CD=2Rsin(b-60)?
(2016-10-16 23:43:40) √еоргий : (60-b) (опечаталс€) и в ответе , кстати, написан корень из 133. :/
(2016-10-17 00:05:27) јдминистратор: √еоргий, про обозначение углов ¬ы правы, исправлено. ¬ остальном в решении ошибок не найдено. ѕо поводу ответа: в других источниках данна€ задача решена другим способом, но ответ получилс€ такой же как здесь. Ќапишите, пожалуйста, из какого источника вз€т ответ "корень из 133"?
(2016-10-17 01:55:06) √еоргий : ”пс... ќтвет-то правильный, да, это всЄ €) ќтвет "корень из 133" из другой задачи такого же типа и похожим, но разным условием. »звините за такой уж переполох, в целом спасибо.)
(2016-10-17 02:37:33) јдминистратор: √еоргий, ничего страшного, лишний раз перепроверить - не лишнее (пардон за тавтологию). » спасибо за найденную опечатку.
X

9-й класс, ќ√Ё: ћатематика

11-й класс, ≈√Ё: ћатематика (базовый уровень)

X
X

¬ведите пор€дковый номер задачи дл€ раздела 'ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€' (от 1 до 862)

X

¬ведите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X

«начение не введено

X

¬ведите ключевую фразу или слова дл€ поиска задачи в разделе ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


»скать во всех разделах
X

«адайте вопрос по этой задаче.

¬аше им€:

–ейтинг@Mail.ru Ќаш сайт в каталоге manyweb.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2017. ¬се права защищены. яндекс.ћетрика