ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


«адача є522 из 862. Ќомер задачи на WWW.FIPI.RU - 11901D


Ќайдите острые углы пр€моугольного треугольника, если его гипотенуза равна 16, а площадь равна 323.


–ешение задачи:

ѕусть а и b - катеты треугольника, с - гипотенуза.
ѕлощадь пр€моугольного треугольника равна половине произведени€ катетов.
S=ab/2=323
ab=643
a=643/b
ѕо теореме ѕифагора:
c2=a2+b2
162=(643/b)2+b2 |*b2
256b2=642*3+b4
b4-256b2+12288=0
ќбозначим b2=t
t2-256t+12288=0
–ешим это квадратное уравнение: D=(-256)2-4*12288=65536-49152=16384
D=16384=4*4096=4*4*1024=4*4*4*256=2*2*2*16=128
t1=(-(-256)+128)/2=192
t2=(-(-256)-128)/2=64
–ассмотрим оба случа€: 1) t=192=b2
b=192=83
ѕо определению, cosα=b/c=83/16=3/2
α=30∞ (по таблице)
ѕо теореме о сумме углов треугольника, второй острый угол равен 180∞-90∞-30∞=60∞
2) t=64=b2
b=8
ѕо определению, cosα=b/c=8/16=1/2
α=60∞ (по таблице)
ѕо теореме о сумме углов треугольника, второй острый угол равен 180∞-90∞-60∞=30∞
ќтвет: 30∞ и 60∞


¬ариант 2 (прислал пользователь Ћюдмила)
ѕроведем из пр€мого угла медиану и высоту, обозначив их m и h соответственно.
≈сли описать окружность вокруг треугольника, то центр этой окружности будет лежать на середине гипотенузы (по теореме об описанной окружности). —ледовательно:
m=c/2=16/2=8
S=(1/2)hc => h=2S/c=2*323/16=43
ѕо определению синуса:
sinβ=h/m=43/8=3/2
ѕо таблице определ€ем, что β=60∞
”гол γ €вл€етс€ внешнем к β, следовательно γ=180∞-β=180∞-60∞=120∞
“реугольник, содержащий угол γ, равнобедренный, так как медиана m и половина гипотенузы равны (это мы вы€снили ранее).
—ледовательно, по свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны (обозначены α).
“огда, по теореме о сумме углов треугольника:
180∞=γ+α+α
180∞=120∞+2α
α=30∞ - это один из искомых углов.
ƒругой искомый угол найдем по той же теореме об углах треугольника: 180∞-90∞-30∞=60∞
ответ: 30∞ и 60∞


¬ы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложени€ на странице 'ѕро нас'

 омментарии:

X

9-й класс, ќ√Ё: ћатематика

11-й класс, ≈√Ё: ћатематика (базовый уровень)

X
X

¬ведите пор€дковый номер задачи дл€ раздела 'ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€' (от 1 до 862)

X

¬ведите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X

«начение не введено

X

¬ведите ключевую фразу или слова дл€ поиска задачи в разделе ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


»скать во всех разделах
X

«адайте вопрос по этой задаче.

¬аше им€:

–ейтинг@Mail.ru Ќаш сайт в каталоге manyweb.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2017. ¬се права защищены. яндекс.ћетрика