Задача №522 из 832. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 11901D

Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 16, а площадь равна 323.


Решение задачи:

Пусть а и b - катеты треугольника, с - гипотенуза.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S=ab/2=323
ab=643
a=643/b
По теореме Пифагора:
c2=a2+b2
162=(643/b)2+b2 |*b2
256b2=642*3+b4
b4-256b2+12288=0
Обозначим b2=t
t2-256t+12288=0
Решим это квадратное уравнение: D=(-256)2-4*12288=65536-49152=16384
D=16384=4*4096=4*4*1024=4*4*4*256=2*2*2*16=128
t1=(-(-256)+128)/2=192
t2=(-(-256)-128)/2=64
Рассмотрим оба случая: 1) t=192=b2
b=192=83
По определению, cosα=b/c=83/16=3/2
α=30° (по таблице)
По теореме о сумме углов треугольника, второй острый угол равен 180°-90°-30°=60°
2) t=64=b2
b=8
По определению, cosα=b/c=8/16=1/2
α=60° (по таблице)
По теореме о сумме углов треугольника, второй острый угол равен 180°-90°-60°=30°
Ответ: 30° и 60°


Вариант 2 (прислал пользователь Людмила)
Проведем из прямого угла медиану и высоту, обозначив их m и h соответственно.
Если описать окружность вокруг треугольника, то центр этой окружности будет лежать на середине гипотенузы (по теореме об описанной окружности). Следовательно:
m=c/2=16/2=8
S=(1/2)hc => h=2S/c=2*323/16=43
По определению синуса:
sinβ=h/m=43/8=3/2
По таблице определяем, что β=60°
Угол γ является внешнем к β, следовательно γ=180°-β=180°-60°=120°
Треугольник, содержащий угол γ, равнобедренный, так как медиана m и половина гипотенузы равны (это мы выяснили ранее).
Следовательно, по свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны (обозначены α).
Тогда, по теореме о сумме углов треугольника:
180°=γ+α+α
180°=120°+2α
α=30° - это один из искомых углов.
Другой искомый угол найдем по той же теореме об углах треугольника: 180°-90°-30°=60°
ответ: 30° и 60°


Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Комментарии:

X
X
X

Введите порядковый номер задачи для раздела 'Геометрия' (от 1 до 832)

X

Введите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X
Warning: mysql_fetch_row(): supplied argument is not a valid MySQL result resource in /home/users2/g/glybin/domains/otvet-gotov.ru/pages/m.zadacha.php on line 416
X

Введите ключевую фразу или слова для поиска задачи в разделе Геометрия


Искать во всех разделах
X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:

Copyright www.otvet-gotov.ru 2014-2016. Bсе права защищены.
–ейтинг@Mail.ru