ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


«адача є475 из 862. Ќомер задачи на WWW.FIPI.RU - 18AC0E


»з вершины пр€мого угла C треугольника ABC проведена высота CP. –адиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 27, тангенс угла BAC равен 9/40. Ќайдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.


–ешение задачи:

–адиус вписанной окружности можно вычислить по формуле R=(AC+CB-AB)/2. ƒл€ этого необходимо вычислить длины всех сторон данного треугольника.
–ассмотрим треугольник ABC.
ѕо определению tgBAC=CB/AC=9/40 => AC=40*CB/9.
ѕо теореме ѕифагора AB2=AC2+CB2
AB2=(40*CB/9)2+CB2
AB2=1600*CB2/81+CB2
AB2=1681*CB2/81
AB=41*CB/9
Ќеобходимо вычислить CB.
ѕо теореме о сумме углов треугольника дл€ треугольника ABC:
/ABC=180∞-90∞-/BAC
ƒл€ треугольника BCP:
/ABC=180∞-90∞-/BCP
—ледовательно, /BAC=/BCP.
–ассмотрим треугольник BCP.
ѕо определению tgBCP=BP/CP=9/40 => CP=40*BP/9.
ѕо теореме ѕифагора CB2=CP2+BP2
CB2=(40*BP/9)2+BP2
CB2=1600*BP2/81+BP2
CB2=1681*BP2/81
CB=41*BP/9
BP=9*CB/41
r=(BP+CP-CB)/2
2*r=BP+40*BP/9-CB
2*27=49*BP/9-CB
54=(49/9)*9*CB/41-CB
54=49*CB/41-CB
54=8*CB/41
CB=54*41/8=276,75
¬ычислив CB, мы можем вычислить AB и AC, указанные выше:
AB=41*CB/9=41*276,75/9=1260,75
AC=40*CB/9=40*276,75/9=1230
R=(AC+CB-AB)/2, тогда получаем:
R=(1230+276,75-1260,75)/2
R=246/2=123
ќтвет: R=123.


¬ы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложени€ на странице 'ѕро нас'

 омментарии:


(2014-05-30 07:20:43) —ветлана: ќчень сложное решение. ƒостаточно найти через тангенс стороны треугольника ј¬— 40х, 9х и 41х. треугольники ј¬— и —–¬ подобны, поэтому —¬:ј¬ = r1:r2 то есть r2=(41х*27):9х=123.
(2014-05-30 09:19:51) јдминистратор: —ветлана, € рассмотрю ¬аш вариант решени€, если он окажетс€ проще, то об€зательно внесу его на сайт. —пасибо большое!
(2014-07-31 10:31:11) —ветлана: ≈ще раз о решении этой задачи. –ассмотрим треугольник ABC - он пр€моугольный. “ак как tgBAC=9/40=BC/AC. ќбозначим BC=9x, AC=40x. ѕо теореме ѕифагора найдем AB. AB^2=BC^2+AC^2. AB=41x. –ассмотрим “реугольники ј¬— и BCP - они подобны по двум углам. ѕр€мой угол и угол ¬- общий ADC - ѕоэтому BC:ј¬ = r1:r2 то есть r2=(41х*27):9х=123.
(2014-09-26 14:48:58) јдминистратор: —ветлана, € внимательно рассмотрел ¬аше решение и возник один вопрос: почему из подоби€ треугольников следует утверждение, что BC:ј¬ = r1:r2? Ёту пропорцию надо еще математически вывести, или есть соответствующа€ теорема?
(2015-01-04 20:04:38) —ветлана: »з подоби€ треугольников следует, что все отрезки одного подобного треугольника увеличиваютс€ (или уменьшаютс€) в одно и тоже количество раз, соответственно коэффициенту подоби€. ( ак и на фотографии при ее увеличении/уменьшении при сохранении пропорций). ѕоэтому и радиусы как вписанной, так и описанной окружностей в подобных треугольниках будут измен€тс€ по коэффициенту подоби€.
(2015-01-04 20:06:17) —ветлана: ¬— и ј¬ - это гипотенузы рассматриваемых треугольников, поэтому их отношение равно коэффициенту подоби€.
(2015-01-05 00:12:51) јдминистратор: —ветлана, € согласен, что ¬аше решение верно, но в решении можно опиратьс€ только на определени€, аксиомы и теоремы. ѕоэтому надо математически показать утверждение "ѕоэтому и радиусы как вписанной, так и описанной окружностей в подобных треугольниках будут измен€тс€ по коэффициенту подоби€", просто так на него опиратьс€ нельз€...
(2015-05-13 00:58:04) ≈лена: я абсолютно согласна со —ветланой. ¬ подобных треугольниках все соответственные отрезки: высоты, медианы, биссектрисы, радиусы вписанной и описанной окружностей и т.д. относ€тс€, как коэффициент подоби€. Ёто доказанный факт. Ёто отмечено и в учебнике јтанас€на, и в учебнике ѕогорелова, и в учебнике јлександрова
(2015-05-13 01:18:56) ≈лена: », кстати , решение задачи 573 как раз должно опиратьс€ на этот факт. ¬ подобных треугольниках высоты, проведЄнные к соответственным сторонам, пропорциональны с тем же коэффициентом, что и коэффициент подоби€ этих треугольников. ј вот факт, что отрезок —F(так вроде бы) €вл€етс€ серединным перпендикул€ром не доказан.
(2015-05-14 16:59:53) јдминистратор: ≈лена, € об€зательно уточню еще раз эту информацию, спасибо.
X

9-й класс, ќ√Ё: ћатематика

11-й класс, ≈√Ё: ћатематика (базовый уровень)

X
X

¬ведите пор€дковый номер задачи дл€ раздела 'ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€' (от 1 до 862)

X

¬ведите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X

«начение не введено

X

¬ведите ключевую фразу или слова дл€ поиска задачи в разделе ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


»скать во всех разделах
X

«адайте вопрос по этой задаче.

¬аше им€:

–ейтинг@Mail.ru Ќаш сайт в каталоге manyweb.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2017. ¬се права защищены. яндекс.ћетрика