ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


«адача є430 из 862. Ќомер задачи на WWW.FIPI.RU - 03D0F6


ƒве касающиес€ внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 39 и 42, вписаны в угол с вершиной A. ќбща€ касательна€ к этим окружност€м, проход€ща€ через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Ќайдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.


–ешение задачи:

ѕроведем несколько отрезков:
EH - радиус малой окружности. ќн перпендикул€рен AB (по свойству касательной).
FG - радиус большой окружности. ќн перпендикул€рен AB (по свойству касательной).
HG - отрезок, соедин€ющий центры окружностей и равный R+r, так как он проходит через точку  .
–ассмотрим треугольники AFG и AEH:
∠EAH - общий;
углы AEH и AFG - пр€мые.
—ледовательно эти треугольники подобны, тогда:
FG/EH=AG/AH
FG/EH=(AH+HG)/AH
42/39=(AH+R+r)/AH
42AH=39(AH+81)
42AH-39AH=3159
AH=1053
sin∠EAH=EH/AH=39/1053=1/27
AK=AH+r=1053+39=1092
AK перпендикул€рен BC, т.к. AK - это продолжение большого и малого радиусов, а BC - касательна€ к малой окружности ( свойство касательной). AK делит хорду BC (BC - хорда дл€ большой окружности) пополам (по второму свойству хорды).
“реугольник ABC - равнобедренный, т.к. AK - и медиана и высота ( свойство равнобедренного треугольника).
“еперь уберем из рисунка все, что нас больше не интересует и резюмируем, что мы знаем:
AK=1092
sinα=1/27
“ак как AK - биссектриса, то центр описанной окружности находитс€ на AK.
Ќайдем AB.
ѕо теореме ѕифагора:
AB2=AK2+BK2
AB2=AK2+(AB*sinα)2
AB2-AB2*sin2α=10922
AB2(1-1/272)=10922
AB2(272-1)=272*10922
AB2=272*10922/(272-1)
–ассмотрим треугольник AOB.
AO=OB, так как это радиусы окружности, следовательно данный треугольник равнобедренный.
ѕроведем высоту ON, в равнобедренном треугольнике она так же €вл€етс€ и медианой (по свойству равнобедренного треугольника).
sinα=ON/AO => ON=AO/27
ѕо теореме ѕифагора:
AO2=ON2+AN2
AO2=AO2/272+(AB/2)2
AO2((272-1)/272)=272*10922/(272-1)
«акончив все вычислени€, получаем, что AO=546,75
ќтвет: –адиус описанной окружности равен 546,75.


¬ы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложени€ на странице 'ѕро нас'

 омментарии:


(2014-05-29 18:57:59) ≈катерина: —пасибо большое за решение
(2015-04-19 14:09:59) “ать€на: ƒл€ чего был проведен отрезок HI?
(2015-04-19 17:44:00) јдминистратор: “ать€на, да, не пригодилс€ это отрезок, изначально решение было немного другим, где он был нужен...
(2015-05-26 10:24:03) –ешение не верно: при нахождении синуса угла. проверьте.
(2015-05-26 10:50:39) ƒенис: я нашел ошибку. ближе к концу там должно быть ј¬ пополам, а не просто.!!!
X

9-й класс, ќ√Ё: ћатематика

11-й класс, ≈√Ё: ћатематика (базовый уровень)

X
X

¬ведите пор€дковый номер задачи дл€ раздела 'ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€' (от 1 до 862)

X

¬ведите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X

«начение не введено

X

¬ведите ключевую фразу или слова дл€ поиска задачи в разделе ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


»скать во всех разделах
X

«адайте вопрос по этой задаче.

¬аше им€:

–ейтинг@Mail.ru Ќаш сайт в каталоге manyweb.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2017. ¬се права защищены. яндекс.ћетрика