Задача №430 из 832. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 03D0F6

Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 39 и 42, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.


Решение задачи:

Проведем несколько отрезков:
EH - радиус малой окружности. Он перпендикулярен AB (по свойству касательной).
FG - радиус большой окружности. Он перпендикулярен AB (по свойству касательной).
HG - отрезок, соединяющий центры окружностей и равный R+r, так как он проходит через точку К.
Рассмотрим треугольники AFG и AEH:
∠EAH - общий;
углы AEH и AFG - прямые.
Следовательно эти треугольники подобны, тогда:
FG/EH=AG/AH
FG/EH=(AH+HG)/AH
42/39=(AH+R+r)/AH
42AH=39(AH+81)
42AH-39AH=3159
AH=1053
sin∠EAH=EH/AH=39/1053=1/27
AK=AH+r=1053+39=1092
AK перпендикулярен BC, т.к. AK - это продолжение большого и малого радиусов, а BC - касательная к малой окружности ( свойство касательной). AK делит хорду BC (BC - хорда для большой окружности) пополам (по второму свойству хорды).
Треугольник ABC - равнобедренный, т.к. AK - и медиана и высота ( свойство равнобедренного треугольника).
Теперь уберем из рисунка все, что нас больше не интересует и резюмируем, что мы знаем:
AK=1092
sinα=1/27
Так как AK - биссектриса, то центр описанной окружности находится на AK.
Найдем AB.
По теореме Пифагора:
AB2=AK2+BK2
AB2=AK2+(AB*sinα)2
AB2-AB2*sin2α=10922
AB2(1-1/272)=10922
AB2(272-1)=272*10922
AB2=272*10922/(272-1)
Рассмотрим треугольник AOB.
AO=OB, так как это радиусы окружности, следовательно данный треугольник равнобедренный.
Проведем высоту ON, в равнобедренном треугольнике она так же является и медианой (по свойству равнобедренного треугольника).
sinα=ON/AO => ON=AO/27
По теореме Пифагора:
AO2=ON2+AN2
AO2=AO2/272+(AB/2)2
AO2((272-1)/272)=272*10922/(272-1)
Закончив все вычисления, получаем, что AO=546,75
Ответ: Радиус описанной окружности равен 546,75.


Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Комментарии:


(2014-05-13 20:45:41) Лина: Это задача ко второй части относится?
(2014-05-13 22:42:01) Администратор: Лина, к сожалению, у меня нет такой информации, но судя по сложности, думаю, да.
(2014-05-29 18:57:59) Екатерина: Спасибо большое за решение
(2015-04-19 14:09:59) Татьяна: Для чего был проведен отрезок HI?
(2015-04-19 17:44:00) Администратор: Татьяна, да, не пригодился это отрезок, изначально решение было немного другим, где он был нужен...
(2015-05-26 10:24:03) Решение не верно: при нахождении синуса угла. проверьте.
(2015-05-26 10:50:39) Денис: Я нашел ошибку. ближе к концу там должно быть АВ пополам, а не просто.!!!
X
X
X

Введите порядковый номер задачи для раздела 'Геометрия' (от 1 до 832)

X

Введите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X
Warning: mysql_fetch_row(): supplied argument is not a valid MySQL result resource in /home/users2/g/glybin/domains/otvet-gotov.ru/pages/m.zadacha.php on line 416
X

Введите ключевую фразу или слова для поиска задачи в разделе Геометрия


Искать во всех разделах
X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:

Copyright www.otvet-gotov.ru 2014-2016. Bсе права защищены.
–ейтинг@Mail.ru