ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


«адача є40 из 862. Ќомер задачи на WWW.FIPI.RU - 1380DA


ћедиана BM треугольника ABC €вл€етс€ диаметром окружности, пересекающей сторону BC в еЄ середине. ƒлина стороны AC равна 4. Ќайдите радиус описанной окружности треугольника ABC.


–ешение задачи:

¬ариант є1 (ѕредложил пользователь ≈лена)
ѕроведем отрезок MP, как показано на рисунке. BM - диаметр малой окружности (по условию задачи), следовательно треугольник BMP - пр€моугольный с гипотенузой BM (по свойству описанной окружности).
  тому же, по условию задачи, точка – - середина стороны BC, т.е. BM - серединный перпендикул€р к стороне BC.
ѕроведем серединный перпендикул€р к стороне AC, как показано на рисунке.
÷ентр описанной окружности совпадает с точкой пересечени€ серединных перпендикул€ров треугольника, а в данном случае - это точка ћ, т.е. точка ћ и есть центр описанной окружности.
“ак как получилось, что центр окружности лежит на стороне описываемого треугольника, то AM и MC - радиусы данной окружности и равны R=AC/2=4/2=2.
ќтвет: 2


¬ариант є2
–ассмотрим рисунок. ѕроведем отрезок MP, как показано на рисунке. BM - диаметр малой окружности (по условию задачи), следовательно треугольник BMP - пр€моугольный с гипотенузой BM (по свойству описанной окружности).
–ассмотрим треугольники BMP и CPM:
MP - обща€ сторона
BP=PC (по условию задачи)
/BPM=/CPM, т.к. /BPM - пр€мой, а /CPM - ему смежный.
—ледовательно треугольники BMP и CPM равны (по первому признаку). ќтсюда следует, что BM=MC=MA.
–ассмотрим треугольник BMC. “.к. MB=MC, то этот треугольник равнобедренный, следовательно /MCP=/PBM (по свойству равнобедренных треугольников).
¬ треугольнике ABM аналогична€ ситуаци€, /BAM=/ABM. “.е. получаетс€, что /BAM+/MCP=/ABC. »з теоремы о сумме углов треугольника следует, 180∞=/BAM+/MCP+/ABC
180∞=/ABC+/ABC
180∞=2*/ABC
90∞=/ABC
»з чего следует, что треугольник ABC - пр€моугольный. ѕо свойству описанной окружности следует, что точка ћ - центр окружности => R=AC/2=4/2=2. ќтвет: R=2.


¬ы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложени€ на странице 'ѕро нас'

 омментарии:


(2014-05-27 14:17:27) ќльга: ѕосле того как доказали, что треугольник —–ћ - пр€моугольный, надо написать что он подобен треугольнику ј¬—, по углу — - общий угол, и двум сторонам ( – - середина ¬—, ћ -середина ј—), следовательно угол ¬ - пр€мой
(2014-05-27 19:26:00) ќльга: »звините, ошиблась, вместо CPM - BPM
(2014-05-27 19:30:34) ќльга: Ќет, всЄ-таки CPM
(2014-05-27 19:34:31) јдминистратор: ќльга, € пон€л ¬ашу мысль, но боюсь, что пользовател€м будет трудно пон€ть это подобие, ¬ы так не думаете? ј ¬ы случайно не учитель математики?
(2014-05-28 09:45:50) ќльга: Ќасчет подоби€ мне кажетс€ пон€ть не трудно. Ќасчет учител€ математики - нет, € - мама ученика, который собираетс€ сдавать √»ј по математике. “ак что приходитс€ участвовать в процессе и вспоминать подзабытое
(2014-05-28 10:29:20) јдминистратор: ќльга, к сожалению, в 9-ом классе далеко не все ученики могут думать даже на два шага вперед (€ сужу по вопросам, какие они задают), поэтому доказывать подобие нужно только через признаки подоби€. ¬аше доказательство идет через определение подоби€, причем двух-ходовое. ѕоэтому думаю, что большинству пользователей будет непон€тно. ”спехов ¬ашему ребенку на экзаменах!!!
(2014-05-28 11:27:59) ќльга: “ак вроде это признак: равенство угла и пропорциональность сторон, к нему прилежащих (относ€тс€ как 1 к 2, т.к. ћ и – середины). ¬прочем € не настаиваю
(2014-05-28 13:47:33) јдминистратор: ќльга, да действительно, у мен€ уже "глаз замылилс€"...
(2015-04-10 02:43:36) ≈лена: ÷ентр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечени€ серединных перпендикул€ров к сторонам треугольника. ƒоказали, что –ћ серединный перпендикул€р к стороне ¬—. “очка пересечени€ –ћ и серединного перпендикул€ра к стороне ј— лежит на пр€мой, проход€щей через точку ћ. ј это и есть точка ћ. ћ - центр окружности, описанной около треугольника ј¬—, значит радиус равен 2.
(2015-05-03 22:53:26) јдминистратор: ≈лена, € добавил ¬аш вариант решени€ на сайт. —пасибо за интересный подход.
(2015-05-08 21:55:32) ≈лена: —пасибо
(2015-05-28 14:13:14) јнна: спасибо
(2016-02-11 18:55:41) ¬иктори€: ѕравильное ли рассуждение у мен€? »з т.ћ опустим перпендикул€р к т.–. ќтрезок ћ– делит ¬— пополаам и перпендикул€рен ему. –ассмотрим треугольники ¬ћ– и ћ–—. “.к. ћ– - обща€ сторона, углы ¬–ћ и ћ–— - пр€мые (равны), и по условию ¬–=–—, след-но треугольники ¬ћ– и ћ–— равны.ѕоэтому ¬ћ =ћ—. “.к. окружность с центром в т.ћ €вл-с€ описанной вокруг треугольника ј¬—,тт.ј¬— лежат на окружности и равноудалены от т.ћ, то јћ=ћ—=¬ћ=R=2
(2016-02-14 18:05:00) јдминистратор: ¬иктори€, почти все правильно, кроме последнего предложени€. ¬ условии не сказано, в первом решении мы это вы€снили исход€ из серединных перпендикул€ров, а во втором решении мы вы€снили, что треугольник ABC пр€моугольный, а (по свойству описанной окружности) центр описанной вокруг пр€моугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, т.е. в точке ћ. ¬от поэтому јћ=ћ—=¬ћ=R=2.
(2017-01-17 10:34:25) cdtbdn : ответы решить задачу по геометрии на рисунке an паролейна bm и an = bm. докажите что треугольник and = треугольнику bmd с ответами и решением
(2017-01-17 23:52:32) јдминистратор: cdtbdn, ћы не помогаем решить домашнее задание, цель сайта - подробно разобрать задачи, которые будут на экзаменах, чтобы учащиес€ научились их решать самосто€тельно. ≈сли найдете похожую задачу на сайте fipi.ru, пишите, об€зательно добавим.
X

9-й класс, ќ√Ё: ћатематика

11-й класс, ≈√Ё: ћатематика (базовый уровень)

X
X

¬ведите пор€дковый номер задачи дл€ раздела 'ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€' (от 1 до 862)

X

¬ведите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X

«начение не введено

X

¬ведите ключевую фразу или слова дл€ поиска задачи в разделе ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


»скать во всех разделах
X

«адайте вопрос по этой задаче.

¬аше им€:

–ейтинг@Mail.ru Ќаш сайт в каталоге manyweb.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2017. ¬се права защищены. яндекс.ћетрика