ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


«адача є36 из 862. Ќомер задачи на WWW.FIPI.RU - 116D41


„ерез середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена пр€ма€, пересекающа€ сторону BC в точке P. Ќайдите отношение площади четырЄхугольника KPCM к площади треугольника AMK.


–ешение задачи:

ѕо условию задачи ¬ћ - медиана треугольника ј¬—, следовательно, по свойству медианы, площади треугольников ј¬ћ и ¬—ћ равны, и равны половине площади треугольника ј¬—.
SABM=SBCM=(SABC)/2.
¬ свою очередь, AK €вл€етс€ медианой дл€ треугольника ј¬ћ, следовательно, по тому же свойству медианы
SAB =SAKM=(SABM)/2=(SABC)/4.
ѕроведем отрезок — . —  €вл€етс€ медианой дл€ треугольника —ћ¬, следовательно,
SCMK=SCKB=(SCMB)/2=(SABC)/4.
ѕроведем отрезок ћ≈, параллельно ј–. ћ≈ €вл€етс€ средней линией дл€ треугольника ј–—, следовательно (по теореме о средней линии) —≈=≈–. ј дл€ треугольника ћ¬≈  – €вл€етс€ средней линией, следовательно ¬–=≈–(=—≈). “.е. сторона ¬— делитс€ на три равные части точками – и ≈.
ѕроведем высоту h, как показано на рисунке. h €вл€етс€ общей высотой дл€ треугольников — ¬ и — –. ¬ыше мы определили, что SCKB=(SABC)/4. ѕлощадь этого же треугольника =(1/2)*h*BC. SCKP=(1/2)*h*–—=(1/2)*h*(2/3)*¬—=(2/3)*(1/2)*h*BC=(2/3)SCKB=(2/12)SABC =(1/6)SABC.
SKPCM=SCMK+SCKP=(SABC)/4+(1/6)SABC=(5/12)SABC. —ледовательно отношение SKPMC к SAMK равно ((5/12)SABC)/(1/4)SABC=5/3.
ќтвет: SKPMC/SAMK=5/3.


¬ы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложени€ на странице 'ѕро нас'

 омментарии:


(2014-09-24 00:20:05) : спасибо
(2014-09-24 00:20:05) : спасибо
(2015-01-23 13:29:20) ¬севолод: ѕредлагаю вариант без проведени€ ME. ћожет кому-то будет проще. ѕусть x=S(ABK)=S(AKM)=S(KMC)=S(KBC) ѕусть y=S(KBP), тогда S(KPC)=S(KBC)-S(KBP)=x-y ќтношение их площадей S(KBP)/S(KPC)=y/(x-y) ќтношение площадей S(ABP)/S(APC) будет таким же, как и S(KBP)/S(KPC), ведь у них те же основани€ BP и PC, только обща€ вершина уже в ј, а не в точке K. S(ABP)/S(AP—)=S(KBP)/S(KPC) Ќабираем площади ABP и AP— в наших переменных: S(ABP)/S(AP—)=(x+y)/(x+x+(x-y)) –авенство отношений площадей: (x+y)/(3x-y)=y/(x-y), откуда находим x=3y »скомое отношение площадей в наших переменных: S(KPCM)/S(AMK)=((x-y)+x)/x=((3y-y)+3y)/3y=5/3
(2015-01-23 23:18:12) јдминистратор: ¬севолод, об€зательно изучу ¬аш вариант и, если он окажетс€ проще, то об€зательно добавлю на сайт.
(2015-05-24 07:29:55) ќлес€: я не понимаю,как h может быть высотой дл€ — –?
(2015-05-24 11:47:05) јдминистратор: ќлес€, высота не об€зательно проходит через сам треугольник, она может лежать и вне треугольника, главное, чтобы она была перпендикул€рна стороне.
X

9-й класс, ќ√Ё: ћатематика

11-й класс, ≈√Ё: ћатематика (базовый уровень)

X
X

¬ведите пор€дковый номер задачи дл€ раздела 'ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€' (от 1 до 862)

X

¬ведите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X

«начение не введено

X

¬ведите ключевую фразу или слова дл€ поиска задачи в разделе ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


»скать во всех разделах
X

«адайте вопрос по этой задаче.

¬аше им€:

–ейтинг@Mail.ru Ќаш сайт в каталоге manyweb.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2017. ¬се права защищены. яндекс.ћетрика