ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


«адача є260 из 862. Ќомер задачи на WWW.FIPI.RU - FB93AE


¬ трапеции ABCD основание AD вдвое больше основани€ ¬— и вдвое больше боковой стороны CD. ”гол ADC равен 60∞, сторона AB равна 6. Ќайдите площадь трапеции.


–ешение задачи:

¬ариант 1 (предложил пользователь ¬севолод)
ѕродолжим стороны AB и CD до пересечени€ в точке G.
BC || AD (по определению трапеции).
AD вдвое больше BC (по условию задачи), следовательно:
BC - средн€€ лини€ дл€ треугольника AGD.
“огда, CD=CG=AD/2 (по теореме о средней линии).
ѕолучаетс€, что AD=DG, т.е. треугольник AGD - равнобедренный.
—ледовательно, ∠AGD=∠GAD=x ( свойство равнобедренного треугольника)
ѕо теореме о сумме углов треугольника:
180∞=∠AGD+∠GAD+∠ADG
180∞=x+x+60∞
120∞=2x
x=60∞, т.е. все углы треугольника ADG равны 60∞, следовательно данный треугольник равносторонний.
—ледовательно, AG=DG, тогда и AB=CD, т.е. трапеци€ ABCD равнобедренна€.
ѕроведем высоты BE и CF как показано на рисунке.
AD=AE+EF+FD, EF=BC=6 (так как BCFE - пр€моугольник), AE=FD=y (так как трапеци€ равнобедренна€).
12=y+6+y
y=3
ѕо теореме ѕифагора CD2=CF2+FD2
62=CF2+32
CF2=27, CF=33
SABCD=((BC+AD)/2)*CF=((6+12)/2)*33
SABCD=273
ќтвет: SABCD=273


¬ариант 2
ѕроведем высоты BE и CF как показано на рисунке.
–ассмотрим треугольник CDF. ќн пр€моугольный, т.к. CF-высота.
ѕо теореме о сумме углов треугольника /FCD=180∞-90∞-60∞=30∞. ѕо определению синуса sin/FCD=DF/CD=sin30∞=1/2
“.е. DF=CD/2, CD, в свою очередь, по условию задачи равно AD/2, получаем, что DF=AD/4.
BC=AD/2 (по условию задачи)
EF=BC=AD/2 (т.к. BCFE - пр€моугольник)
¬ычислим AE, AE=AD-DF-EF=AD-AD/4-AD/2=AD/4, т.е. мы получили, что AE=FD
–ассмотрим треугольники ABC и DCF:
BE=CF (т.к. BCFE - пр€моугольник)
AE=FD (только что получили)
/AEF=90∞=/DFC, тогда по первому признаку равенства, треугольники ABC и DCF равны.
—ледовательно, AB=CD, т.е. наша трапеци€ равнобедренна€.
AB=CD=6 (по условию задачи), AD=2*CD=2*BC=12 (тоже по условию), BC=CD=6
FD=AD/4=3
ѕо теореме ѕифагора CD2=CF2+FD2
62=CF2+32
CF2=27, CF=33
SABCD=((BC+AD)/2)*CF=((6+12)/2)*33
SABCD=273
ќтвет: SABCD=273


¬ы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложени€ на странице 'ѕро нас'

 омментарии:


(2015-03-14 18:21:37) ¬севолод: ѕредлагаю чуть другой вариант первой половины решени€. ѕродолжим стороны AB и CD до пересечени€ в точке G. ƒл€ треугольника ADG основание трапеции BC (BC=AD/2) будет средней линией, значит CD=CG=AD/2, отсюда AD=DG, а угол между ними 60 градусов, значит треугольник ADG равносторонний, а тогда трапеци€ равнобедренна€.
(2015-03-14 22:00:48) јдминистратор: ¬севолод, очень неплохой вариант! ¬ скором времени опубликую по ¬ашим именем.
(2015-03-15 17:49:50) ¬севолод: ”важаемый јдминистратор! —пасибо ¬ам за ведение такого полезного ресурса. —пасибо и за оценку моего дополнени€. Ќа мой взгл€д, чем больше разных подходов, тем шире понимание у всех интересующихс€.
(2015-03-15 18:10:35) јдминистратор: ¬севолод, согласен с ¬ами!
X

9-й класс, ќ√Ё: ћатематика

11-й класс, ≈√Ё: ћатематика (базовый уровень)

X
X

¬ведите пор€дковый номер задачи дл€ раздела 'ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€' (от 1 до 862)

X

¬ведите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X

«начение не введено

X

¬ведите ключевую фразу или слова дл€ поиска задачи в разделе ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


»скать во всех разделах
X

«адайте вопрос по этой задаче.

¬аше им€:

–ейтинг@Mail.ru Ќаш сайт в каталоге manyweb.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2017. ¬се права защищены. яндекс.ћетрика