ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


«адача є610 из 862. Ќомер задачи на WWW.FIPI.RU - F96D2F


»з вершины пр€мого угла C треугольника ABC проведена высота CP. –адиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 60, тангенс угла BAC равен 5/12. Ќайдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.


–ешение задачи:

¬ариант є1
–ассмотрим треугольники ABC и BCP.
∠ABC - общий.
∠ACB=∠BPC=90∞ (т.к. CP - высота).
ѕо первому признаку подоби€ треугольников, данные треугольники подобны.
—ледовательно, BC/AC=BP/BC=BC/AB=k.
k - коэффициент подоби€.
«аметим, что BC/AB - это sinA (по определению), найдем его:
tgA=(sinA)/(cosA)=5/12
cosA=(12sinA)/5=2,4sinA
ѕо основной тригонометрической формуле:
sin2A+cos2A=1
sin2A+(2,4sinA)2=1
sin2A+5,76sin2A=1
6,76sin2A=1
sin2A=1/6,76
sinA=1/2,6=k
ƒальше тонкий момент:
ѕо свойству подобных треугольников отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикул€ров равно коэффициенту подоби€. –адиус вписанной окружности имеет линейную зависимость от периметра треугольника ( третье свойство), следовательно отношение радиусов подобных треугольников тоже подчин€етс€ коэффициенту подоби€.
“.е. r/R=k
R=r/k=60/(1/2,6)=60*2,6=156.
ќтвет: R=156


¬ариант є2
–адиус вписанной окружности можно вычислить по формуле R=(AC+CB-AB)/2. ƒл€ этого необходимо вычислить длины всех сторон данного треугольника.
–ассмотрим треугольник ABC.
ѕо определению tgBAC=CB/AC=5/12 => AC=12*CB/5.
ѕо теореме ѕифагора AB2=AC2+CB2
AB2=(12*CB/5)2+CB2
AB2=144*CB2/25+CB2
AB2=169*CB2/25
AB=13*CB/5
Ќеобходимо вычислить CB.
ѕо теореме о сумме углов треугольника дл€ треугольника ABC:
/ABC=180∞-90∞-/BAC
ƒл€ треугольника BCP:
/ABC=180∞-90∞-/BCP
—ледовательно, /BAC=/BCP.
–ассмотрим треугольник BCP.
ѕо определению tgBCP=BP/CP=5/12 => CP=12*BP/5.
ѕо теореме ѕифагора CB2=CP2+BP2
CB2=(12*BP/5)2+BP2
CB2=144*BP2/25+BP2
CB2=169*BP2/25
CB=13*BP/5
BP=5*CB/13
r=(BP+CP-CB)/2
2*r=BP+12*BP/5-CB
2*60=17*BP/5-CB
120=17*(5*CB/13)/5-CB
120=(17*5)*CB/(13*5)-CB
120=17*CB/13-CB
120=4*CB/13 |:4
30=CB/13
CB=30*13=390
¬ычислив CB, мы можем вычислить AB и AC, указанные выше:
AB=13*CB/5=13*390/5=1014
AC=12*CB/5=12*390/5=936
R=(AC+CB-AB)/2, тогда получаем:
R=(936+390-1014)/2
R=156
ќтвет: R=156.


¬ы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложени€ на странице 'ѕро нас'

 омментарии:


(2015-03-07 16:55:58) ¬севолод: “реугольники CBP и ABC подобны с коэффициентом подоби€ k=BC/AB, а это ведь sinA. »спользу€ основное тригонометрическое тождество и определение tgA, можно найти sinA из системы: (sinA)^2+(cosA)^2=1 sinA/cosA=5/12=tgA ѕолучаетс€, что sinA=5/13 ќтношение радиусов вписанных окружностей у подобных треугольников тоже равно коэффициенту подоби€. ¬едь по определению подоби€ все линейные размеры фигуры увеличиваютс€ в k раз (стороны, медианы, высоты, биссектрисы, диагонали и радиусы вписанной и описанной окружностей). »так, соотношение радиусов у нас равно r/R=5/13,откуда R=156.
(2015-03-09 16:23:33) јдминистратор: ¬севолод, ¬аше решение в целом правильное, кроме одного Ќќ. ¬ы ссылаетесь на свой "жизненный опыт", а не на теоремы или определени€ "ќтношение радиусов вписанных окружностей у подобных треугольников тоже равно коэффициенту подоби€". Ёто нужно доказать математически, а не голословно, даже, если это очевидно. "¬едь по определению подоби€ все линейные размеры фигуры увеличиваютс€ в k раз (стороны, медианы, высоты, биссектрисы, диагонали и радиусы вписанной и описанной окружностей)" - в определении подоби€ ничего похожего нет. ќѕ–.: ѕодобные треугольники Ч треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника. ¬се остальное надо доказывать в решении...≈сли € не прав, то пришлите, пожалуйста, ссылку на материалы, где подтверждаютс€ ¬аши слова.
(2015-03-18 13:26:43) ¬севолод: ¬ учебнике ј.¬.ѕогорелова на стр. 154 есть определение подоби€ как преобразовани€, а потом несколько страниц достаточно подробно говоритс€ о его свойствах и привод€тс€ хорошие примеры. ¬ учебнике под редакцией ј.Ќ.“ихонова на стр. 138 о подобии сказано лишь: "¬ геометрии фигуры одинаковой формы прин€то называть подобными". ƒругие учебники не смотрел, но допускаю, что они могут существенно различатьс€. ¬  одификаторе элементов ‘»ѕ» есть пункт 7.1.6 "ѕреобразование плоскости. ƒвижени€. —имметри€." ƒа, сказано мало, но это про преобразование подоби€. ћне кажетс€, что отношение соответствующих радиусов и высот у подобных треугольников доказывать не надо потому, что это €вл€етс€ одним из основных свойств преобразовани€ подоби€. —огласен с тем, что на учебники, которые рассматривают сразу лишь признаки подоби€ треугольников без упоминани€ о преобразовании подоби€ так оперетьс€ не получитс€. ≈сли считать, что определение подоби€ как преобразовани€ в программе и учебниках отсутствует, то вы правы, нужно гон€ть известные формулы. –ассмотрим площадь треугольника S=(b*c*sinA)/2 (еще подойдЄт формула √ерона, но с проверкой всех учебников). »з неЄ выходит, что площади подобных треугольников относ€тс€ как квадрат их коэффициента подоби€ и об этом говоритс€ везде. “огда соответствующие радиусы и высоты тоже подобны с тем же коэффициентом, потому что везде есть формулы дл€ площади S=a*b*c/4R, S=p*r и S=a*h/2. ¬ы использовали в решении формулу r=(a+b-c)/2, упоминание о которой не так просто будет найти в некоторых учебниках. ¬ообще, всегда можно попросить доказать все применЄнные в решении формулы и утверждени€. Ќо тогда начинать придЄтс€ с "Ќачал" планиметрии или защищатьс€ фразой "из программы", а это уже субстанци€ дискуссионна€. ≈сли же считать, что пон€тие преобразовани€ подоби€ в программе всЄ же есть, то ссылка в решении на его свойства выгл€дит мощнее и легче, чем применение известных формул.
(2015-03-18 20:14:32) јдминистратор: ¬севолод, большое ¬ам спасибо за такую упорную борьбу за истину. ƒискутировать с таким оппонентом - одно удовольствие. ¬ чем € с ¬ами согласен, так это в том, что использованна€ мной формула мало известна и, действительно, требует доказательства. “.е. использовать ее как есть не очень корректно в данном случае. Ќо именно по этой же причине, некорректно утверждать, что R/r=k, это надо показать. ћы с ¬ами понимаем, что высоты, медианы и т.д. "подчин€ютс€" коэффициенту подоби€, площади подобных треугольников уже "не подчин€ютс€". ƒл€ обычного школьника эти тонкости не очевидны. ¬ы мен€ убедили, что надо написать более корректное решение. я этим займусь немного позже, сейчас очень много запросов на новые задачи. ≈ще раз спасибо ¬ам!
(2015-03-18 20:20:21) јдминистратор: ¬севолод, напишите, мне пожалуйста, на zapros@otvet-gotov.ru, давайте дискутировать по почте, чтобы не "взрывать мозг" другим пользовател€м )
(2015-04-12 16:52:31) : AB2=144*CB2/25+CB2 AB2=169*CB2/25 почему исчезло CB?
(2015-04-12 17:00:19) јдминистратор: AB2=144*CB2/25+CB2=144*CB2/25+25CB2/25=(144CB2+25CB2)/25=169CB2/25
X

9-й класс, ќ√Ё: ћатематика

11-й класс, ≈√Ё: ћатематика (базовый уровень)

X
X

¬ведите пор€дковый номер задачи дл€ раздела 'ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€' (от 1 до 862)

X

¬ведите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X

«начение не введено

X

¬ведите ключевую фразу или слова дл€ поиска задачи в разделе ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


»скать во всех разделах
X

«адайте вопрос по этой задаче.

¬аше им€:

–ейтинг@Mail.ru Ќаш сайт в каталоге manyweb.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2017. ¬се права защищены. яндекс.ћетрика