ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


«адача є605 из 862. Ќомер задачи на WWW.FIPI.RU - EA6181


„етырЄхугольник ABCD со сторонами AB=19 и CD=22 вписан в окружность. ƒиагонали AC и BD пересекаютс€ в точке K, причЄм ?AKB=60∞. Ќайдите радиус окружности, описанной около этого четырЄхугольника.


–ешение задачи:

ѕусть R - радиус окружности.
–ассмотрим треугольник BCA.
Ётот треугольник вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
AB/sin(∠BCA)=2R
AB=2Rsin(∠BCA)
–ассмотрим треугольник BCD.
Ётот треугольник тоже вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
CD/sin(∠CBD)=2R
CD=2Rsin(∠CBD)
–ассмотрим треугольник BCK.
ѕо теореме о сумме углов треугольника:
∠CBD+∠BCA+∠CKB=180∞
∠AKB - €вл€етс€ смежным по отношению к ∠CKB, следовательно ∠CKB=180∞-∠AKB. ѕодставл€ем в уравнение выше:
∠CBD+∠BCA+(180∞-∠AKB)=180∞
∠CBD+∠BCA+(180∞-60∞)=180∞
∠CBD+∠BCA=60∞
ƒл€ простоты обозначим ∠CBD=а и ∠BCA=b, т.е. a+b=60∞
a=60∞-b
19=AB=2Rsin(a)
22=CD=2Rsin(60∞-a)=2R(sin60∞cos(a)-cos60∞sin(a))=2R((3/2)*cos(a)-(1/2)*sin(a))=R(3cos(a)-sin(a)) (применена тригонометрическа€ формула)
–азделим второе уравнение на первое:
19/22=R(3cos(a)-sin(a))/(2Rsin(a))
19/22=(3cos(a)-sin(a))/(2sin(a))
19*2sin(a)=22*(3cos(a)-sin(a))
38sin(a)=223cos(a)-22sin(a)
60sin(a)=223cos(a)
¬озведем правую и левую части в квадрат:
3600sin2(a)=484*3cos2(a)
3600sin2(a)=1452(1-sin2(a)) (применена основна€ тригонометрическа€ формула)
3600sin2(a)=1452-1452sin2(a))
5052sin2(a)=1452
sin2(a)=1452/5052
sin2(a)=484/1684
sin2(a)=121/421
sin(a)=121/421
sin(a)=11/421
22=2R*11/(421)
1=R/(421)
R=421
ќтвет: R=421


¬ы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложени€ на странице 'ѕро нас'

 омментарии:

X

9-й класс, ќ√Ё: ћатематика

11-й класс, ≈√Ё: ћатематика (базовый уровень)

X
X

¬ведите пор€дковый номер задачи дл€ раздела 'ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€' (от 1 до 862)

X

¬ведите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X

«начение не введено

X

¬ведите ключевую фразу или слова дл€ поиска задачи в разделе ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


»скать во всех разделах
X

«адайте вопрос по этой задаче.

¬аше им€:

–ейтинг@Mail.ru Ќаш сайт в каталоге manyweb.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2017. ¬се права защищены. яндекс.ћетрика