ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


«адача є603 из 862. Ќомер задачи на WWW.FIPI.RU - D31B80


¬ треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM=4:1.ѕр€ма€ AK пересекает сторону BC в точке P.Ќайдите отношение площади треугольника ABK к площади четырЄхугольника KPCM.


–ешение задачи:

BM - медиана треугольника ј¬—, следовательно, она делит этот треугольник на два равных по площади треугольника ( свойство медианы).
SABM=SCMB=SABC/2
–ассмотрим треугольник ABM и проведем высоту из вершины ј.
¬ысота h так же €вл€етс€ высотой дл€ треугольников ABK и AKM.
«начит их площади:
SABK=h*BK*1/2
SAKM=h*KM*1/2
Ќайдем отношение этих площадей:
SABK/SAKM=(h*BK*1/2)/(h*KM*1/2)
SABK/SAKM=BK/KM=4
“.е. SAKM=SABK/4
SABK+SAKM=SABM=SABC/2
SABK+SABK/4=SABC/2
SABK*5/4=SABC/2
SABK=(SABC/2)*4/5
SABK=2*SABC/5
SAKM=SABK/4=(2*SABC/5)/4=SABC/10
ѕроведем отрезок CK и рассмотрим треугольники AKM и CKM.
ѕроведем высоту KF. Ёта высота €вл€етс€ общей дл€ обоих этих треугольников. ѕлощади этих треугольников:
SAKM=KF*AM*1/2
SCKM=KF*CM*1/2
KF=CM (так как BM- медиана), следовательно SAKM=SCKM=SABC/10
“огда SCKB=SCMB-SCKM=SABC/2-SABC/10=5*SABC/10-SABC/10=4*SABC/10=2*SABC/5
¬ернемс€ к первоначальному рисунку и проведем отрезок MR, параллельный AP.
ƒл€ треугольника APC MR - средн€€ лини€, так как проходит через середину AC и параллельна AP.
—ледовательно, по теореме о средней линии, PR=RC.
–ассмотрим треугольники MBR и KBP.
∠MBR - общий дл€ обоих треугольников.
∠BKP=∠BMR, так как они соответственные (дл€ параллельных пр€мых KP и MR и секущей MB).
«начит, по первому признаку, данные треугольники подобны.
—ледовательно:
BM/BK=BR/BP
(BK+KM)/BK=(BP+PR)/BP
1+KM/BK=1+PR/BP
KM/BK=PR/BP=1/4 (по условию задачи)
ѕроведем высоту KD, как показано на рисунке.
KD - €вл€етс€ высотой дл€ треугольников KBP и KCP.
SKBP=KD*BP*1/2
SKCP=KD*CP*1/2=KD*(PR+CR)*1/2=KD*(2PR)*1/2
Ќайдем отношение этих площадей:
SKBP/SKCP=(KD*BP*1/2)/(KD*(2PR)*1/2)
SKBP/SKCP=BP/(2PR)=(BP/PR)/2=(4/1)/2=2
SKBP=2*SKCP
SCKB=2*SABC/5=SKBP+SKCP=2*SKCP+SKCP=3*SKCP
2*SABC/5=3*SKCP
SKCP=2*SABC/15
SKPCM = SCKM+SKCP = SABC/10+SABC*2/15 = SABC*3/30+SABC*4/30 = SABC*7/30
SABK/SKPCM=(SABC*2/5)/(SABC*7/30)
SABK/SKPCM=(2/5)/(7/30)=(2/5)*(30/7)=(2*30)/(5*7)=(2*6)/7=12/7
ќтвет: 12/7


¬ы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложени€ на странице 'ѕро нас'

 омментарии:


(2015-02-09 15:09:31) маша: —пасибо, с вами легче учитьс€!!!
(2015-02-09 15:58:35) јдминистратор: ћаша, рады, что наш сайт полезен!
X

9-й класс, ќ√Ё: ћатематика

11-й класс, ≈√Ё: ћатематика (базовый уровень)

X
X

¬ведите пор€дковый номер задачи дл€ раздела 'ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€' (от 1 до 862)

X

¬ведите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X

«начение не введено

X

¬ведите ключевую фразу или слова дл€ поиска задачи в разделе ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


»скать во всех разделах
X

«адайте вопрос по этой задаче.

¬аше им€:

–ейтинг@Mail.ru Ќаш сайт в каталоге manyweb.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2017. ¬се права защищены. яндекс.ћетрика