ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


«адача є594 из 862. Ќомер задачи на WWW.FIPI.RU - CF2D65


¬ треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM=10:9. ѕр€ма€ AK пересекает сторону BC в точке P. Ќайдите отношение площади четырЄхугольника KPCM к площади треугольника ABC.


–ешение задачи:

BM - медиана треугольника ј¬—, следовательно, она делит этот треугольник на два равных по площади треугольника ( свойство медианы).
SABM=SCMB=SABC/2
–ассмотрим треугольник ABM и проведем высоту из вершины ј.
¬ысота h так же €вл€етс€ высотой дл€ треугольников ABK и AKM.
«начит их площади:
SABK=h*BK*1/2
SAKM=h*KM*1/2
Ќайдем отношение этих площадей:
SABK/SAKM=(h*BK*1/2)/(h*KM*1/2)
SABK/SAKM=BK/KM=10/9
“.е. SABK=SAKM*10/9
SABK+SAKM=SABM=SABC/2
SAKM*10/9+SAKM=SABC/2
SAKM*19/9=SABC/2
SAKM=(SABC/2)*9/19
SAKM=9*SABC/38
ѕроведем отрезок CK и рассмотрим треугольники AKM и CKM.
ѕроведем высоту KF. Ёта высота €вл€етс€ общей дл€ обоих этих треугольников. ѕлощади этих треугольников:
SAKM=KF*AM*1/2
SCKM=KF*CM*1/2
KF=CM (так как BM- медиана), следовательно SAKM=SCKM=9*SABC/38
“огда SCKB=SCMB-SCKM=SABC/2-9*SABC/38=19*SABC/38-9*SABC/38=10*SABC/38
¬ернемс€ к первоначальному рисунку и проведем отрезок MR, параллельный AP.
ƒл€ треугольника APC MR - средн€€ лини€, так как проходит через середину AC и параллельна AP.
—ледовательно, по теореме о средней линии, PR=RC.
–ассмотрим треугольники MBR и KBP.
∠MBR - общий дл€ обоих треугольников.
∠BKP=∠BMR, так как они соответственные (дл€ параллельных пр€мых KP и MR и секущей MB).
«начит, по первому признаку, данные треугольники подобны.
—ледовательно:
BM/BK=BR/BP
(BK+KM)/BK=(BP+PR)/BP
1+KM/BK=1+PR/BP
KM/BK=PR/BP=9/10 (по условию задачи)
ѕроведем высоту KD, как показано на рисунке.
KD - €вл€етс€ высотой дл€ треугольников KBP и KCP.
SKBP=KD*BP*1/2
SKCP=KD*CP*1/2=KD*(PR+CR)*1/2=KD*(2PR)*1/2
Ќайдем отношение этих площадей:
SKBP/SKCP=(KD*BP*1/2)/(KD*(2PR)*1/2)
SKBP/SKCP=BP/(2PR)=(BP/PR)/2=(10/9)/2=5/9
SKBP=SKCP*5/9
SCKB=10*SABC/38=SKBP+SKCP=SKCP*5/9+SKCP=SKCP*5/9+SKCP*9/9=SKCP*14/9
10*SABC/38=SKCP*14/9
SKCP = SABC*(10/38)*(9/14) = SABC*90/(38*14)
SKPCM = SCKM+SKCP = SABC*9/38+SABC*90/(38*14) = SABC*126/(38*14)+SABC*90/(38*14) = SABC*216/(38*14) = SABC*216/(38*14) = SABC*108/(19*14) = SABC*54/(19*7) = SABC*54/133
SKPCM/SABC = (SABC*54/133)/SABC = 54/133
ќтвет: 54/133


¬ы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложени€ на странице 'ѕро нас'

 омментарии:


(2015-01-13 14:24:55) : объ€сните как решаетс€ задача
(2015-01-13 14:27:00) : как вы определили что треугольник BKP относитс€ к треугольнику KCP как 5 к 9
(2015-01-13 18:55:19) јдминистратор: „уть выше отношени€ мы записали чему равны площади обоих треугольников и разделили одну площадь на другую. ѕолучили, что отношение площадей равно BP/(2PR) или (BP/PR)/2. ј еще раньше в решении мы вы€снили, что KM/BK=PR/BP=9/10 => BP/PR=10/9 => (BP/PR)/2=(10/9)/2=5/9
(2015-01-13 18:55:19) јдминистратор: „уть выше отношени€ мы записали чему равны площади обоих треугольников и разделили одну площадь на другую. ѕолучили, что отношение площадей равно BP/(2PR) или (BP/PR)/2. ј еще раньше в решении мы вы€снили, что KM/BK=PR/BP=9/10 => BP/PR=10/9 => (BP/PR)/2=(10/9)/2=5/9
X

9-й класс, ќ√Ё: ћатематика

11-й класс, ≈√Ё: ћатематика (базовый уровень)

X
X

¬ведите пор€дковый номер задачи дл€ раздела 'ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€' (от 1 до 862)

X

¬ведите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X

«начение не введено

X

¬ведите ключевую фразу или слова дл€ поиска задачи в разделе ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


»скать во всех разделах
X

«адайте вопрос по этой задаче.

¬аше им€:

–ейтинг@Mail.ru Ќаш сайт в каталоге manyweb.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2017. ¬се права защищены. яндекс.ћетрика