ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


«адача є501 из 862. Ќомер задачи на WWW.FIPI.RU - BF030F


ƒве касающиес€ внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 45 и 46, вписаны в угол с вершиной A. ќбща€ касательна€ к этим окружност€м, проход€ща€ через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Ќайдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.


–ешение задачи:

ѕроведем несколько отрезков:
EH - радиус малой окружности. ќн перпендикул€рен AB (по свойству касательной).
FG - радиус большой окружности. ќн перпендикул€рен AB (по свойству касательной).
HG - отрезок, соедин€ющий центры окружностей и равный R+r, так как он проходит через точку  .
–ассмотрим треугольники AFG и AEH:
∠EAH - общий;
углы AEH и AFG - пр€мые.
—ледовательно эти треугольники подобны, тогда:
FG/EH=AG/AH
FG/EH=(AH+HG)/AH
46/45=(AH+R+r)/AH
46AH=45(AH+91)
46AH-45AH=4095
AH=4095
sin∠EAH=EH/AH=45/4095=1/91
AK=AH+r=4095+45=4140
AK перпендикул€рен AB, т.к. это продолжение большого и малого радиусов, а AB - касательна€ ( свойство касательной) и делит хорду AB пополам (по свойству хорды).
“реугольник ABC - равнобедренный, т.к. AK - и медиана и высота ( свойство равнобедренного треугольника).
“еперь уберем из рисунка все, что нас больше не интересует и резюмируем, что мы знаем:
AK=4140
sinα=1/91
“ак как AK - биссектриса, то центр описанной окружности находитс€ на AK.
Ќайдем AB.
ѕо теореме ѕифагора:
AB2=AK2+BK2
AB2=AK2+(AB*sinα)2
AB2-AB2*sin2α= 41402
AB2(1-1/912)=41402
AB2(912-1)=912*41402
AB2=912*41402/(912-1)
–ассмотрим треугольник AOB.
AO=OB, так как это радиусы окружности, следовательно данный треугольник равнобедренный.
ѕроведем высоту ON, в равнобедренном треугольнике она так же €вл€етс€ и медианой (по свойству равнобедренного треугольника).
sinα=ON/AO=1/91 => ON=AO/91
ѕо теореме ѕифагора:
AO2=ON2+AN2
AO2=AO2/912+(AB/2)2
AO2((912-1)/912)=912*41402/(912-1)
AO2=912*41402/(912-1)/((912-1)/912)=912*41402*912/(912-1)2
AO=912*4140/(912-1)
AO=8281*4140/8280=8281/2=4140,5
ќтвет: –адиус описанной окружности равен 4140,5.


¬ы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложени€ на странице 'ѕро нас'

 омментарии:


(2014-05-29 15:26:21) “анюшка: Ѕольшое спасибо! ќчень мудрена€ задача!
X

9-й класс, ќ√Ё: ћатематика

11-й класс, ≈√Ё: ћатематика (базовый уровень)

X
X

¬ведите пор€дковый номер задачи дл€ раздела 'ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€' (от 1 до 862)

X

¬ведите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X

«начение не введено

X

¬ведите ключевую фразу или слова дл€ поиска задачи в разделе ќ√Ё, 9-й класс.
ћатематика: √еометри€


»скать во всех разделах
X

«адайте вопрос по этой задаче.

¬аше им€:

–ейтинг@Mail.ru Ќаш сайт в каталоге manyweb.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2017. ¬се права защищены. яндекс.ћетрика