Задача №425 из 832. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - A0C43B

Окружности радиусов 3 и 33 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.


Решение задачи:

Рассмотрим трапецию ACO1O2
Данная трапеция прямоугольная, т.к. радиусы перпендикулярны касательной AC (по свойству касательной).
Проведем O2K параллельно AC, O2K=AC, т.к. ACKO2 - прямоугольник. По теореме Пифагора:
(O1O2)2=(O2K)2+(KO1)2
(R+r)2=(O2K)2+(R-r)2
(33+3)2=(O2K)2+(33-3)2
1296=(O2K)2+900
(O2K)2=396
O2K=611=AC
Рассмотрим треугольники OAO2 и OCO2 (cм. Рис.1).
∠AOO2 - общий
∠OAO2=∠OCO1=90°
Следовательно эти треугольники подобны (по первому признаку подобия треугольников).
Тогда, R/r=OC/OA
33/3=OC/OA=(OA+AC)/OA
11OA=OA+611
OA=60,11
Из подобия этих же треугольников:
R/r=O10/O2O
R/r=(O2O+R+r)/O2O
33/3=(O2O+33+3)/O2O
11(O2O)=O2O+36
10(O2O)=36
O2O=3,6
Обозначим угол ∠AOO2 как α
cosα=OA/OO2=60,11/3,6=0,11/0,6
Посмотрим на треугольники OAE и OCF.
Они прямоугольные по второму свойству хорды.
Тогда для треугольника OAE:
cosα=OE/OA
OE=OA*cosα=60,11*0,11/0,6=0,11/0,1=1,1
Для треугольника OCF:
cosα=OF/OC
OF=OC*cosα=(OA+AC)*cosα=(60,11+611)*0,11/0,6=(60,11+600,11)*0,11/0,6=660,11*0,11/0,6=66*0,11/0,6=12,1
EF=OF-OE=12,1-1,1=11
Ответ: EF=11


Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Комментарии:

X
X
X

Введите порядковый номер задачи для раздела 'Геометрия' (от 1 до 832)

X

Введите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X
X

Введите ключевую фразу или слова для поиска задачи в разделе Геометрия


Искать во всех разделах
X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:

Copyright www.otvet-gotov.ru 2014-2016. Bсе права защищены.
–ейтинг@Mail.ru